Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Nehmen Sie ein Blatt Papier und basteln Sie sich ihre Lieblingssingularität, indem sie das Papier zerknüllen \zusatzklammer {nicht reißen} {} {} und gewisse Punkte miteinander verkleben. Modellieren Sie den Vorgang als eine \zusatzklammer {stetige, polynomiale?} {} {} \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^3 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Bildergalerie in der Eingangsebene vom Mathematikgebäude in Osnabrück. Wo sind die singulären Punkte? Wie sehen die Gleichungen aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen $\R$ und den Fasern von $\varphi$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen \definitionsverweis {offenen Intervallen}{}{} $I \subseteq \R$ und \zusatzklammer {möglichst großen} {} {} \definitionsverweis {offenen Teilmengen}{}{} der Fasern von $\varphi$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise den
Satz über implizite Abbildungen
für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^m
} {.}
Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9)} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y)} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion.
a) Realisiere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$ als \definitionsverweis {Faser}{}{} zu einer Abbildung \maabbdisp {} {\R^2} {\R } {} über $0$.
b) Es sei $f$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von $f$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{,} deren \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} \mathkor {} {f'} {und} {g'} {} stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x)+g(y) } {,} \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} und in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$ als \definitionsverweis {Graph}{}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was besagt
der Satz über implizite Abbildungen
für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion
\maabb {\varphi} {\R} {\R
} {?}
Für welche Punkte
\mathl{P \in \R}{} sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn $\varphi$ ein Polynom ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was besagt
der Satz über implizite Abbildungen
für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion
\maabb {\varphi} {\R^n} {\R^n
} {?}
Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^4+z^6 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R>0}{} und betrachte die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} { { \left( \sqrt{x^2+y^2}- R \right) }^2 +z^2
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der Abbildung und die Gestalt der Faser über
\mathl{s \in \R}{.} Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von
\mathl{\sqrt{s} < R}{} zu
\mathl{\sqrt{s} > R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2-y^3
} {,}
in jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} lokal
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {offenen reellen Intervall}{}{}
sind. D.h. dass es zu jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mathl{(x,y) \in U}{,} ein offenes Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{} und
eine
\definitionsverweis {stetige Bijektion}{}{}
\maabbdisp {} {I} {U \cap F_P
} {,}
gibt
\zusatzklammer {wobei
\mathl{F_P}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
von $\varphi$ durch $P$ bezeichnet} {} {,}
deren
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi[} { S^1
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {}
zwischen dem halboffenen Intervall
\mathl{[0,2 \pi[}{} und dem Einheitskreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ = }{ { \left\{ P \in \R^2 \mid \Vert {P} \Vert = 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {,} für die die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} stetig, aber nicht differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x,y,z)
}
{ = }{x^a +y^b+z^c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei alle Exponenten gerade $\geq 2$ seien und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ \defeq} { f^{-1}(0)
}
{ \subset} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Faser über $0$. Zeige, dass
\mathl{Z \setminus \{0,0,0\}}{} nicht
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x,y,z)
}
{ = }{x^a +y^b+z^c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei alle Exponenten $\geq 1$ seien und zumindest ein Exponent ungerade sei. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ \defeq} { f^{-1}(0)
}
{ \subset} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Faser über $0$. Definiere eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\zusatzklammer {also stetig bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung} {} {}
zwischen $\R^2$ und $Z$. Zeige, dass diese nicht überall
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist
\zusatzklammer {Ausnahmen} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf dem durch
\mathl{X^2+Y^2-Z^2}{} gegebenen Kegel Geraden liegen, die durch die Singularität laufen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x,y,z)
}
{ = }{x^2 +y^3+z^6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \defeq }{ f^{-1}(0)
}
{ \subset }{ {\mathbb C}^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Faser über $0$. Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\gamma} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}^3
} {t} { ( { \mathrm i} t^3 ,0,t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {injektive}{}{}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
gegeben ist, deren Bild ganz in $Z$ liegt und die durch die
\definitionsverweis {isolierte Singularität}{}{}
von $Z$ läuft.
}
{} {}
Bemerkung: Die beiden vorstehenden Aufgaben kann man so interpretieren, dass man die durch
\mathl{X^2+Y^2-Z^2}{} und die durch
\mathl{X^2+Y^3+Z^6}{} gegebene Singularität entlang einer glatten Kurve durchwandern kann. Die durch
\mathl{X^2+Y^3+Z^5}{} gegebene Singularität kann nicht längs einer glatten Kurve durchwandert werden.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(U,V)}{} zur Gruppe, die neben der Identität aus dem durch
\mathl{U \mapsto -U}{,}
\mathl{V \mapsto -V}{,}
gegebenen
\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{}
besteht
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 1.5} {} {.}
}
{} {}