Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y,Z] / { \left( Y-X^2,Z-XY \right) }} { }
eine endliche
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
als
$K[X,Y,Z]$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X]/ { \left( X^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R/(X)
}
{ \cong }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die minimale
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
als $R$-Modul.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X]/ { \left( X^n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R/(X)
}
{ \cong }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die minimale
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
als $R$-Modul.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Achsenkreuz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/ { \left( XY \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
$K$ die minimale
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
als $R$-Modul.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Achsenkreuz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/ { \left( XY \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R/(X)
}
{ \cong }{ K[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die minimale
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
als $R$-Modul.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die Neilsche Parabel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/ { \left( X^2-Y^3 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
$K$ die minimale
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
als $R$-Modul.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ = }{R_\pi
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathdisp {0 \longrightarrow R^{(\N)} \longrightarrow R^{(\N)} \longrightarrow Q \longrightarrow 0} { , }
wobei rechts die Basiselemente $e_n$ auf ${ \frac{ 1 }{ \pi^n } }$ und links die Basiselemente $f_n$ auf
\mathl{e_n- \pi e_{n+1}}{} abgebildet werden, eine endliche
\definitionsverweis {freie Auflösung}{}{}
des Quotientenkörpers $Q$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler}{}{} \definitionsverweis {artinscher Ring}{}{} und \maabb {\varphi} {F} {G } {} ein \definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{} \definitionsverweis {freien}{}{} $R$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} \mathkor {} {F} {und} {G} {.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn $F$ ein \definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kartesisches-Blatt.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Kartesisches-Blatt.svg } {} {Georg-Johann} {Commons} {CC-BY-SA-3.0 & GFDL} {}
Zeige, dass
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/ { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist und dass der entsprechende analytische Ring
\mathl{{\mathcal O}_2/ { \left( X^3+Y^3-3XY \right) }}{} nicht integer ist. Zeige ferner, dass dieser Ring isomorph zu ${\mathcal O}_2/ { \left( XY \right) }$ ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben zeigen, dass sich der Ring der stetigen Funktionen in verschiedener Hinsicht anders verhält als der Ring der holomorphen oder der Ring der polynomialen Funktionen. Siehe auch Beispiel 25.7.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte die Menge aller Paare
\mathdisp {(U,f) \text{ mit } 0 \in U \subseteq \R^n \text{ offen und } f:U \longrightarrow \R \text{ stetig }} { }
mit der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (U,f)
}
{ \sim} {(V,g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{W
}
{ \subseteq }{ U \cap V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f {{|}} _W
}
{ =} {g {{|}} _W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Es sei $R$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
zu $\sim$. Zeige, dass es auf $R$ eine natürliche Struktur als
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist.
}
Diesen Ring nennt man den \stichwort {Ring der Keime stetiger Funktionen} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Ring der Keime stetiger Funktionen}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es in $R$
\definitionsverweis {Nullteiler}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Ring der Keime stetiger Funktionen}{}{}
in Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass in $R$ das
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
nicht von $X$
\zusatzklammer {also der Identität} {} {}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\R[X_1 , \ldots , X_n ]_{ { \left( X_1 , \ldots , X_n \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomringes}{}{}
am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${ \left( X_1 , \ldots , X_n \right) }$ und sei $S$ der
\definitionsverweis {Ring der Keime stetiger Funktionen}{}{}
in Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen natürlichen injektiven
$\R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R} {S
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Betrachte die Menge aller Paare
\mathdisp {(U,f) \text{ mit } P \in U \subseteq X \text{ offen und } f:U \longrightarrow \R \text{ stetig }} { }
mit der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (U,f)
}
{ \sim} {(V,g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{W
}
{ \subseteq }{ U \cap V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f {{|}} _W
}
{ =} {g {{|}} _W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Es sei $R$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
zu $\sim$. Zeige, dass es auf $R$ eine natürliche Struktur als
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist.
}
Diesen Ring nennt man den \stichwort {Ring der Keime stetiger Funktionen} {} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt einer
\definitionsverweis {topologischen Mannigfaltigkeit}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ring der Keime stetiger Funktionen}{}{}
in $P$ als
$\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum Ring der Keime stetiger Funktionen in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Betrachte die Menge aller Paare
\mathdisp {(U,f) \text{ mit }Z \subseteq U \subseteq X \text{ offen und } f:U \longrightarrow \R \text{ stetig }} { }
mit der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (U,f)
}
{ \sim} {(V,g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \subseteq }{W
}
{ \subseteq }{ U \cap V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f {{|}} _W
}
{ =} {g {{|}} _W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Es sei $R$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
zu $\sim$. Zeige, dass es auf $R$ eine natürliche Struktur als
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {reduzierter Ring}{}{}
ist.
}
Diesen Ring nennt man den \stichwort {Ring der Keime stetiger Funktionen} {} entlang $Z$.
}
{} {}