Es seien
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
A
×
B
:=
{
(
x
,
y
)
∣
x
∈
A
,
y
∈
B
}
{\displaystyle {}A\times B:={\left\{(x,y)\mid x\in A,\,y\in B\right\}}\,}
das kartesische Produkt von
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
Relation von
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
R
⊆
A
×
B
{\displaystyle {}R\subseteq A\times B}
Ist
R
{\displaystyle {}R}
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
S
{\displaystyle {}S}
B
{\displaystyle {}B}
C
{\displaystyle {}C}
S
∘
R
:=
{
(
x
,
z
)
∈
A
×
C
∣
∃
y
∈
B
mit
(
x
,
y
)
∈
R
und
(
y
,
z
)
∈
S
}
{\displaystyle {}S\circ R:={\left\{(x,z)\in A\times C\mid \exists y\in B{\text{ mit }}(x,y)\in R{\text{ und }}(y,z)\in S\right\}}\,}
Weisen Sie nach, dass die Komposition von Relationen assoziativ ist, also die Gleichheit
T
∘
(
S
∘
R
)
=
(
T
∘
S
)
∘
R
{\displaystyle {}T\circ (S\circ R)=(T\circ S)\circ R\,}
gilt.
Es seien
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
A
×
B
:
=
{
(
x
,
y
)
|
x
∈
A
,
y
∈
B
}
{\displaystyle A\times B\colon \!=\{(x,y)\,\vert \,x\in A,\,y\in B\}}
das kartesische Produkt von
A
{\displaystyle {}A}
und
B
{\displaystyle {}B}
.
Eine Relation von
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
R
⊆
A
×
B
{\displaystyle {}R\subseteq A\times B}
Umkehrrelation
R
−
1
{\displaystyle {}R^{-1}}
(
y
,
x
)
∈
R
−
1
⇔
(
x
,
y
)
∈
R
.
{\displaystyle (y,x)\in R^{-1}\,\,\Leftrightarrow \,\,(x,y)\in R.}
Eine Abbildung von
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
f
{\displaystyle {}f}
A
{\displaystyle {}A}
B
{\displaystyle {}B}
x
∈
A
{\displaystyle {}x\in A}
y
∈
B
{\displaystyle {}y\in B}
(
a
,
b
)
∈
f
{\displaystyle {}(a,b)\in f}
f
{\displaystyle {}f}
f
{\displaystyle {}f}
