Kurs:Vektor-Algebra/Hörsaal/Vorlesung

Erklärungen der Grundbegriffe

In dem Teilgebiet der Mathematik, das »Lineare Algebra« heißt, haben Vektoren eine etwas andere Bedeutung als in der Physik; wir beschäftigen uns hier jedoch nur mit physikalischen Vektoren und ihrer mathematischen Behandlung. Die mathematische Fassung der Begriffe ist natürlich richtig und die physikalische Auffassung schwammig. Dafür ist die physikalische Auffassung schnell zu begreifen und eigentlich wollen wir uns ja mit Physik beschäftigen. Wir werden deswegen nur so viel mathematisches Reisegepäck mitnehmen, wie wir für das Verständnis der Physik gebrauchen können.

Die Charakterisierungen in einem mathematischen Nachschlagewerk wird ein Anfänger nicht verstehen. Tatsächlich gibt es mehrere Charakterisierungen desselben Begriffes. Wir verwenden für den Anfang naive Charakterisierungen der Grundbegriffe. Zu einem anderen Zeitpunkt werden wir den Begriffsapparat nachschärfen.

Dimension

Physikalische Größen haben Dimensionen Länge, Zeit, Kraft, Arbeit... Die SI-Einheit der physikalischen Größe Länge ist Meter mit dem Symbol m. Eckige Klammer bilden die Dimension auf die Einheit ab. Man schreibt das so: [Länge] = m. Allgemein also [Physikalische Größe]= Einheit.

Skalar

Ein Skalar ist eine Zahl wie 5, -10, i, -i, ${\sqrt {2}}$. Skalare Größenwerte haben Einheiten angehängt 7 m, 7 s, ${\sqrt {2}}V$. Die Arbeit W ist zum Beispiel ein Skalar. Aus der Schule kennt man

W = Kraft x Weg = F $\cdot$ s

Die Formel kann man leider nur anwenden, wenn Kraft und Weg auf einer Linie liegen. Wir lernen später ein besonderes Produkt kennen, das beschäftigt sich mit solchen Fällen: das Skalarprodukt.

Skalare nennt man auch Tensoren 0.Ordnung.

Vektor

Ein Vektor hat einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung. Er kann durch einen Pfeil dargestellt werden, er heißt auch Vektor. Den Begriff Vektor kann man noch viel präziser fassen. Für den Anfang ist das nicht notwendig. Eine vektorielle physikalische Größe ist z.B. die Kraft mit der SI-Einheit N. Bei vektoriellen physikalischen Größen sagen wir nicht Vektorbetrag, sondern besser Größenwert. Die Kraftvektor ${\vec {F}}$ hat z.B. den Betrag 10 und den Größenwert 10 Newton.

Für ein tieferes Verständnis von Vektoren ist es unerlässlich,charakterisieren wir ein genauer

• ein Geometrisches Objekt,
• das einem Vektorraum angehört,
• das durch Koordinaten bezüglich einer Basis dargestellt werden kann,
• das aber nicht von einer bestimmten Basis abhängt, sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt.

Tensoren

Vektoren nennt man auch Tensoren 1.Ordnung. Zwischen Tensoren verschiedner Stufen kann man Gleichungen aufstellen, wenn man Proportionalitäten einbaut. Ansonsten sind Tensoren verschiedener Stufen nicht vergleichbar. Gleichungen zwischen Tensoren gleicher Stufe können proportional sein. Die Proportionalität ist ein Tensor niedrigerer Stufe.

Beispiel: Dynamische Grundgleichung

F Kraftvektor, Tensor 1.Stufe a Beschleunigungsvektor, Tensor 1.Stufe m Masse, skalar , Tensor 0.Stufe

F= m*a

Die Kraft F ist der Beschleunigung a proportional aber nicht gleich. Beide sind Tensoren derselben Stufe. Die Gleichheit kann hergestellt werden wenn man die Beschleunigung a mit einem Tensor 0.Stufe und zwar der skalaren Masse multipliziert. Die skalare Masse ist hier die Proportionalität.

Physikalische Gesetze als Proportionalitäten