Kurs:Vektor Algebra/Linearer Raum

Determinanten

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende $1\times 1$-Matrix $A$ ist

$\det(A)=\det {\begin{pmatrix}a_{11}\end{pmatrix}}=a_{11}$

Geometrische Deutun: Parallelogramm-Fläche

Ist $A$ eine $2\times 2$-Matrix, dann ist

$\det(A)=\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

Geometrische Deutung: Spatvolumen

Für eine $3\times 3$-Matrix $A$ gilt die folgende Formel:

$\det(A)=\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die w: Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Epsilontik

Zwischen dem Epsilon-Tensor und dem Kronecker-Delta gilt die Beziehung

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}$

Übung: Zeige dass gilt

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=6$

(wiederum mit Summenkonvention). Sie ist nützlich bei der Vektorrechnung im $\mathbb {R} ^{3}$.

Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A=\left(A_{ij}\right)$ kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

$\det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}\dots A_{ni_{n}}\;.$

• Berechne:

Die Determinante dieser Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

• Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

• Berechne das Spatprodukt

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Kreuzprodukt und Spatprodukt

Übung:

• Formuliere das Kreuzprodukt 3-komponentiger Vektoren a und b mit dem Epsilon-Tensor

und dann mit der Determinante

• Formuliere das Spatprodukt 3-komponentiger Vektoren a und b mit dem Epsilon-Tensor und dann mit der Determinante