Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Exponentialfunktionen, Logarithmen

Aufgabe

Vereinfachen Sie ohne Taschenrechner:

1. ${}10^{3\log _{10}(100)}$
2. ${}\log _{10}{\sqrt[{3}]{100}}$
3. ${}\log _{5}(7)\cdot \log _{3}(5)$

Lösung:

1. ${}1.000.000$
2. ${}{\frac {2}{3}}$
3. ${}log_{3}(7)$

 

Aufgabe

Das Kohlenstoff-Isotop ${}^{14}C$ hat eine Halbwertszeit von knapp 6000 Jahren. In lebenden Organismen macht dieses Isotop etwa ein Billionstel des Kohlenstoffs aus. Man findet ein Fossil, in dem dieser Anteil nur 100 Billiardstel ausmacht. Wie alt ist das Fossil?

Lösung:

ca. 20.000 Jahre

 

Aufgabe

Es gibt die Geschichte, dass der Erfinder des Schachspiels als Belohnung dafür verlangt hat, man möge ihm Reis schenken: ein Reiskorn auf das erste Feld des Schachbretts, zwei Reiskörner auf das zweite Feld, vier auf das dritte, acht auf das vierte und so weiter, immer verdoppelt. Wie viele Körner müssten auf dem letzten Feld liegen? Rechnen Sie das nicht am Taschenrechner, sondern schätzen Sie, wie viele Ziffern das Ergebnis hat. Hinweis: ${}2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$

Lösung:

${}2^{10\cdot 6,3}\approx {\bigl (}10^{3}{\bigr )}^{6,3}=10^{18,9}$,

also ca. 19 Ziffern

 

Aufgabe

Eine Oktave bedeutet eine Frequenzverdoppelung, zwei Oktaven eine Frequenzvervierfachung, drei Oktaven eine Frequenzverachtfachung usw. Wie viele Oktaven liegen der Kammerton a¹ und der übliche Testton auseinander? Wie viele Halbtöne sind das? (eine Oktave = zwölf Halbtöne)

Lösung:

${}\log _{2}{\biggl (}{\frac {1000}{440}}{\biggr )}{\mbox{ Oktaven}}\approx 1{,}18{\mbox{ Oktaven}}\approx 14{\mbox{ Halbtöne}}$

 

Aufgabe

Gemäß Moore's Gesetz verdoppelt sich die Zahl der Transistoren der aktuellen Chips alle 18 Monate. Nach welcher Zeit verzehnfacht sie sich also? Nach welcher Zeit verhundertfacht sie sich?

Lösung:

das 10-fache nach ca. fünf Jahren, das 100-fache nach ca. zehn Jahren

 

Aufgabe

Eine Glasscheibe lasse 95% des Lichts durch. Wie viele solche Scheiben muss man hintereinander anbringen, um das Licht auf 1% abzuschwächen? (Vernachlässigen Sie, dass Licht von der Oberfläche einer hinten liegenden Scheibe von einer davor liegenden Scheibe wieder reflektiert werden kann.)

Lösung:

ca. 90 Scheiben

 

Aufgabe

Die Euro-Währung ist in Teile 0,01, 0,02, 0,05, 0,1, 0,2, 0,5, 1, 2, 5, 10 usw. eingeteilt. Was hat das mit einer Exponentialfunktion zu tun? Was wären die „exakten“ Werte statt 2 und 5?

Lösung:

Die Werte sind etwa ${}10^{\frac {n}{3}}$ für ${}n=-6,-5,\ldots {},8$. Der Wert für 2 € müsste demnach eigentlich 2,15 € betragen, der für 5 € müsste 4,64 € sein.

 

Aufgabe

In einem Becken von ${}1000{\mbox{m}}^{3}$ schwimmen 1000 kleine Fische. Jeder Fisch schwimmt für sich, ohne auf die anderen zu achten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem bestimmten Kubikmeter des Beckens zu einen bestimmten Zeitpunkt kein einziger Fisch befindet? Was hat das mit der Eulerschen Zahl zu tun?

Lösung:

${}\left({\frac {999}{1000}}\right)^{1000}$, also ca. ${}{\frac {1}{e}}$

 

Aufgabe

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1. Jede Seite wird auf folgende Art ersetzt: Das erste Drittel und das letzte Drittel bleiben so, wie sie sind. Das mittlere Drittel wird durch einen Zacken ersetzt, dessen beide Kanten ein Drittel der ursprünglichen Kante lang sind. Diese Ersetzung wiederholt man unendlich oft und erhält damit eine Art Schneeflocke. Wie lang wird der Umfang der Figur? Wie groß wird ihr Flächeninhalt? Hinweis zur Flächenberechnung: Das ursprüngliche Dreieck hat einen Flächeninhalt von ${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$. Welchen Bruchteil dieser Fläche haben die angehängten Zacken? Und: ${}(1+a+a^{2}+a^{3}+\cdots +a^{n})(a-1)=a^{n+1}-1$

Die ersten drei Schritte

Lösung:

Nach ${}n$ Unterteilungen hat man den Umfang:

${}U_{n}=3\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}$ Für ${}n\rightarrow \infty$ geht er gegen unendlich.

Pro Seite des Dreiecks kommt folgende Fläche in Form von Zacken hinzu: ${}\sum _{k=1}^{\infty }4^{k-1}{\frac {\left({\frac {1}{3^{k}}}\right)^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{16}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}$ Die Gesamtfläche ist:

${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}+3{\frac {\sqrt {3}}{20}}$