Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Polynome, Linearfaktoren, Polynomdivision

Aufgabe

Finden Sie ein Polynom in ${}x$, das für ${}x=2$ den Wert 3 hat, für ${}x=3$ den Wert -1 hat und für ${}x=4$ den Wert 5 hat. Vorüberlegung: Welchen Grad muss das Polynom mindestens haben?

Lösung:

zum Beispiel ${}5x^{2}-29x+41$

 

Aufgabe

Die Cosinusfunktion lässt sich im Bogenmaß für im Betrag nicht allzu große Winkel gut so nähern (etwas Ähnliches passiert im Rechner):

$\cos(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}$

Stellen Sie fest, was die Nullstellen des Polynoms auf der rechten Seite sind und vergleichen Sie mit den Nullstellen des Cosinus.

Lösung:

Cosinus	Polynom
${}x_{1}=-{\frac {3}{2}}\pi \approx -4{,}712$ ${}x_{2}=-{\frac {1}{2}}\pi \approx -1{,}570$ ${}x_{3}={\frac {1}{2}}\pi \approx 1{,}570$ ${}x_{4}={\frac {3}{2}}\pi \approx 4{,}712$	${}x_{1}=-{\sqrt {2\left(3+{\sqrt {3}}\right)}}\approx -3{,}076$ ${}x_{2}=-{\sqrt {2\left(3-{\sqrt {3}}\right)}}\approx -1{,}592$ ${}x_{3}={\sqrt {2\left(3-{\sqrt {3}}\right)}}\approx 1{,}592$ ${}x_{4}={\sqrt {2\left(3+{\sqrt {3}}\right)}}\approx 3{,}076$