Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Potenzen, Wurzeln

Aufgabe

Vereinfachen Sie so weit wie möglich!

1. ${}36^{(4^{-1/2})}$
2. ${}(4a)^{3}+(-a)^{3}$
3. ${}(x^{6}-1)^{-1}\cdot (x^{3}+1)$

Lösung:

1. ${}6$
2. ${}63a^{3}$
3. ${}{\frac {1}{x^{3}-1}}$

 

Aufgabe

Vereinfachen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich:

1. ${}{\frac {\sqrt[{4}]{a^{3}b^{5}+ab^{4}}}{\sqrt[{3}]{a^{2}b+ab^{2}}}}$
2. ${}{\sqrt[{3}]{x^{7}a^{-5}}}(x^{6}a)^{-1/2}$
3. ${}\left(-2+{\sqrt {2^{2}-1}}\right)^{2}+4\left(-2+{\sqrt {2^{2}-1}}\right)+1$

Lösung:

1. ${}{\frac {a^{-1/12}b^{2/3}{\sqrt[{4}]{a^{2}b+1}}}{\sqrt[{3}]{a+b}}}$
2. ${}x^{\frac {4}{3}}a^{-{\frac {11}{6}}}$
3. ${}0$

 

Aufgabe

Entfernen Sie die Wurzeln im Nenner:

1. ${}{\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}}$
2. ${}{\frac {5}{1+{\sqrt {2}}}}$
3. ${}{\frac {\sqrt {x+y}}{\sqrt {x-y}}}$

Lösung:

1. ${}{\frac {({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}{a-b}}$
2. ${}{\frac {5-5{\sqrt {2}}}{1-2}}$
3. ${}{\frac {\sqrt {x^{2}-y^{2}}}{x-y}}$ (Man beachte, dass ${}x-y$ nicht negativ werden darf; sonst müsste im Nenner eigentlich der Betrag stehen.)

 

Aufgabe

Man lässt einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach welcher Zeit ${}t$ hat er eine Strecke von 100 m zurückgelegt? Hinweis: ${}s=t^{2}\cdot 5{\mbox{m/s}}^{2}$.

Lösung:

${}t=2{\sqrt {5}}s$

 

Aufgabe

Sie haben 100m Zaun und wollen damit ein rechteckiges Stück ebenes Land einzäunen. Wie sind die Kantenlängen ${}a$ und ${}b$ des Rechtecks zu wählen, damit die eingezäunte Fläche maximal wird? Natürlich muss man ein Quadrat wählen; aber begründen Sie anhand eines Funktionsgraphen, dass das Quadrat wirklich die größtmögliche Fläche hat. Und was sind seine Kantenlängen? (ohne Ableitungen lösen)

Lösung:

Weil der Umfang fest ist, gilt ${}b=50{\mbox{m}}-a$. Also ist die Fläche gleich ${}ab=a(50{\mbox{m}}-a)$. Die dazugehörige Kurve (Fläche in Abhängigkeit von ${}a$ ) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen ${}a=0$ und ${}a=50{\mbox{m}}$. Der Scheitel der Parabel und damit der maximale Wert ist auf der Mitte dazwischen: ${}a=25{\mbox{m}}$. Dann ist wegen des festen Umfangs auch ${}b=25{\mbox{m}}$, sodass die Figur (Überraschung!) ein Quadrat wird.

 

Aufgabe

Ein Stadion besteht aus einem Rechteck, an das an zwei gegenüberliegenden Seiten Halbkreise gesetzt sind. Der Umfang der Gesamtfigur beträgt 350m. Welche Abmessungen muss das Rechteck haben, damit sein Flächeninhalt (also das Spielfeld) maximal wird? (ohne Ableitungen lösen)

Lösung:

Sei ${}a$ die Kantenlänge der geraden Längsseite und sei ${}b$ der Durchmesser der beiden Halbkreise links und rechts. Dann ist der Umfang ${}350{\mbox{m}}=\pi b+2a$, also ${}b=(350{\mbox{m}}-2a)/\pi$. Die Fläche des Spielfelds ist ${}ab=a(350{\mbox{m}}-2a)/\pi =a(175{\mbox{m}}-a){\frac {2}{\pi }}$. Der Graph dieser Funktion in Abhängigkeit von ${}a$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei ${}a=0$ und ${}a=175{\mbox{m}}$. Der Scheitelpunkt und damit das Maximum liegt auf der Mitte dazwischen, also bei ${}a=87{,}5{\mbox{m}}$. Der Durchmesser der Halbkreise ist also ${}b=(350{\mbox{m}}-287{,}5{\mbox{m}})/\pi \approx 55{,}7{\mbox{m}}$.

 

Aufgabe

Eine Strecke wird in zwei Teile zerlegt, wobei sich der kleinere Abschnitt zum größerem Abschnitt so verhält wie der größere Abschnitt zur ganzen Strecke. Dieses Teilungsverhältnis nennt man den Goldenen Schnitt. Berechnen sie das Verhältnis.

Lösung:

Der Goldene Schnitt ist: ${}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1\approx 1{,}618:1$

 

Aufgabe

Wie muss man die Normalparabel verschieben, dehnen, stauchen, drehen oder ..., um die Graphen der folgenden Funktionen zu erhalten?

1. ${}y=x^{2}-1$
2. ${}y=(x-3)^{2}$
3. ${}y={\frac {1}{2}}x^{2}$
4. ${}y={\frac {1}{2}}(x-3)^{2}-1$
5. ${}y={\sqrt {x+3}}$ (Welche ${}x$ sind erlaubt?)
6. ${}y={\sqrt {2x+3}}-1$ (Welche ${}x$ sind erlaubt?)

Lösung:

1. um 1 nach unten verschieben
2. um 3 nach rechts verschieben
3. von oben auf die Hälfte stauchen
4. um 3 nach rechts verschieben, von oben auf die Hälfte stauchen und um 1 nach unten verschieben
5. an der 1. Hauptdiagonalen spiegeln, die untere Hälfte (außer dem Scheitelpunkt) löschen, um 3 nach links verschieben; ${}x\geq -3$
6. an der 1. Hauptdiagonalen spiegeln, die untere Hälfte (außer dem Scheitelpunkt) löschen, von rechts auf die Hälfte stauchen, um ${}1{\frac {1}{2}}$ nach links verschieben und um 1 nach unten verschieben; ${}x\geq -1{\frac {1}{2}}$

 

Aufgabe

Die Internationale Höhenformel gibt an, wie der Luftdruck ${}p$ mit der Höhe ${}h$ über dem Meeresspiegel abnimmt:

$p=\left(1-{\frac {0{,}0065\cdot h}{288{,}15{\mbox{m}}}}\right)^{5{,}255}\cdot 1013{,}25{\mbox{hPa}}$

Auf welcher Höhe ist der Luftdruck nur noch halb so groß wie am Meeresspiegel?

Lösung:

Nach ca. 5507 m ist der Luftdruck nur noch halb so groß.