Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.
\aufzaehlungneun{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup \emptyset
}
{ =} { A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cap \emptyset
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cap B
}
{ =} { B \cap A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cup B
}
{ =} { B \cup A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cap (B \cap C)
}
{ =} { (A \cap B) \cap C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup (B \cup C)
}
{ =} { (A \cup B) \cup C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cap (B \cup C)
}
{ =} { (A \cap B) \cup (A \cap C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup (B \cap C)
}
{ =} { (A \cup B) \cap (A \cup C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \setminus (B \cup C)
}
{ =} { (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen $A,B,C$ Mengen. Man formuliere auch die einzelnen Mengenbeziehungen mittels Quantoren. \aufzaehlungfuenf{Modus Barbara: Aus $B \subseteq A$ und $C \subseteq B$ folgt $C \subseteq A$. }{Modus Celarent: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \subseteq B$ folgt $C \cap A = \emptyset$. }{Modus Darii: Aus $B \subseteq A$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \cap A \neq \emptyset$. }{Modus Ferio: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \not \subseteq A$. }{Modus Baroco: Aus $B \subseteq A$ und $B \not \subseteq C$ folgt $A \not \subseteq C$. } Welche dieser Aussagen kann man durch Betrachten von Komplementen auf andere zurückführen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
\aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B
}
{ = }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cup B
}
{ = }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \setminus B
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Es gibt eine Menge $C$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ A \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Es gibt eine Menge $D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ B \cap D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für die folgenden Teilmengen der natürlichen Zahlen quantorenlogische Beschreibungen. \aufzaehlungsechs{Die Menge der geraden Zahlen, }{Die Menge der Zahlen, die durch vier teilbar sind, }{Die Menge der ungeraden Zahlen, }{Die Menge der Quadratzahlen, }{Die Menge der Primzahlen, }{Die Menge der Zahlen, die als Summe von drei Quadratzahlen geschrieben werden können. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {${ \left\{ (x,y) \mid x=5 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x \geq 4 \text{ und } y =3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid y^2 \geq 2 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid \betrag { x } = 3 \text{ und } \betrag { y } \leq 2 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 3x \geq y \text{ und } 5x \leq 2y \right\} }$, } } {\itemfuenf {${ \left\{ (x,y) \mid xy = 0 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy = 1 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy \geq 1 \text{ und } y \geq x^3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 0 = 0 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 0 = 1 \right\} }$. } }
}
{Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine \zusatzklammer {oder gar keine} {} {} Variable vorkommt?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die folgenden Mengendiagramme. Welche möglichen Schnittmengen der beteiligten Mengen werden in diesen geometrisch repräsentiert, welche nicht?
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disyuncion_de_clases2.JPG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disyunción de clases2.JPG } {} {Monimino} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Subset.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Subset.svg } {} {Petr K} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Venn_diagram_of_three_sets.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Venn diagram of three sets.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {CirclesN4xa.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { CirclesN4xa.GIF } {} {Thisisbossi} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {CirclesN4a.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { CirclesN4a.GIF } {} {Thisisbossi} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Standardsemantik_klein.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Standardsemantik klein.png } {} {Dhanyavaada} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die folgenden drei Mengen
\mathdisp {\{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999,99999, \ldots \}} { }
\zusatzklammer {die alle die Form $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5, \ldots \}$ besitzen} {} {}
jeweils ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(k)
}
{ =} { c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 + c_4 k^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit Koeffizienten
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c_j
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mit
\mathdisp {P(1)=a_1, \, P(2)=a_2, \, P(3)=a_3, \, P(4)= a_4, \, P(5)=a_5} { . }
}
{} {Man mache sich die Situation zunächst für die ersten ein, zwei, drei Elemente der Auflistung klar.}
\inputaufgabe
{}
{
Finde Parallelen zwischen Aussagen- und Quantorenlogik einerseits und Mengentheorie andererseits.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die \anfuehrung{Definition}{}\einrueckung{Ein Hinz ist ein Kunz, dessen Schlonz ein Ranz ist,} und nehmen wir an, dass es sich um eine sinnvolle Definition handelt. Beantworte folgende Fragen. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {Welcher Begriff wird neu eingeführt, welche sind schon bekannt? }{Besitzt jeder Kunz einen Schlonz? }{Besitzt jeder Hinz einen Schlonz? }{Ist jeder Hinz ein Kunz? }{Ist jeder Kunz ein Hinz? } } {\itemfuenf {Ist der Schlonz von jedem Kunz ein Ranz? }{Ist der Schlonz von jedem Hinz ein Ranz? }{Ist jeder Hinz ein Ranz? }{Kann es einen Schlonz geben, der nicht zu einem Kunz gehört? }{Wie kann man die Vermutung widerlegen, dass jeder Kunz ein Hinz ist? } }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge von \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und $S$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von $M$ ausgehend mittels den Junktoren $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ und mit Klammern \anfuehrung{sinnvoll}{} basteln kann. Man gebe eine präzise \stichwort {induktive Definition} {}\zusatzfussnote {Man spricht auch von einer \stichwort {generativen Definition} {,} d.h. die Menge wird durch eine \stichwort {Startmenge} {} und eine Menge von \stichwort {Erzeugungsregeln} {} beschrieben.} {} {} für die Menge $S$.
}
{} {(Man mache sich zunächst an Beispielen klar, was zu $S$ gehören soll und was nicht. Für Informatiker: man schreibe ein Computerprogramm, das aus $M$ alle Elemente von $S$ generiert.)}