Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Aufgaben/Modul 5/Inneres Produkt/Lösungen

Zu 1.)

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}2\\3\\-1\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}4\\-5\\2\end{array}}\right)=2\cdot 4+3\cdot (-15)-1\cdot 2=8-15-2=-9$

Zu 2.)

Um die Aufgabe korrekt zu lösen, sind folgende Aussagen zusammen zu suchen:

• ${\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}:=r_{1}r_{2}\cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha ={\frac {{\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}}{r_{1}\cdot r_{2}}}$

• ${\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}:=r_{11}r_{21}+r_{12}r_{22}+r_{13}r_{23}$

• $r_{1}:=|{\vec {r}}_{1}|={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}}$

Aus den Aussagen kann man folgendes schlussfolgern:

$\cos \alpha ={\frac {r_{11}r_{21}+r_{12}r_{22}+r_{13}r_{23}}{{\sqrt {r_{11}^{2}+r_{12}^{2}+r_{13}^{2}}}\cdot {\sqrt {r_{21}^{2}+r_{22}^{2}+r_{23}^{2}}}}}$

Wir werden im folgenden mit den Beträgen der Einheitsvektoren rechnen, die immer 1 sind. Sprich, die Einheitsvektoren fallen weg, die Koeffizienten bleiben stehen. Mit ihnen wollen wir rechnen.

Die schlussgefolgerte Formel werden wir im einzelnen berechnen, Schritt für Schritt. Zuerst die Beträge der Vektoren ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}$:

$r_{1}={\sqrt {2^{2}+(-4)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {4+16+1}}={\sqrt {21}}=4,582575695$

$r_{1}={\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}+(-1^{2})}}={\sqrt {1+4+1}}={\sqrt {6}}=2,449489743$

Und nun das innere Produkt der Vektoren ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}$:

${\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=r_{11}r_{21}+r_{12}r_{22}+r_{13}r_{23}=2\cdot (-1)+2\cdot (-4)-1\cdot (-1)=-2-8+1=-9$

Wenn wir nun die Teilstücke zusammenfügen:

$\cos \alpha ={\frac {r_{11}r_{21}+r_{12}r_{22}+r_{13}r_{23}}{{\sqrt {r_{11}^{2}+r_{12}^{2}+r_{13}^{2}}}\cdot {\sqrt {r_{21}^{2}+r_{22}^{2}+r_{23}^{2}}}}}={\frac {-9}{\sqrt {21\cdot 6}}}=-0,801783725$

Und um nun den Winkel α zum zugehörigen Kosinus-Wert -0,801783725 zu bekommen, nutzen wir Arkuskosinus, die Umkehrfunktion zu Kosinus.

$\arccos {-0.801783725}=143,300774728825$

Also ist die Lösung der Aufgabe: α = 143,3°.

Zu 3.)

Der Kosinus eines Winkels von 90° ist 0. Ist der Kosinus eines eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren 0, sind die Vektoren orthogonal. Allgemein lässt sich der Kosinus zweier Vektoren, deren eingeschlossener Winkel α sei, wie folgt berechnen:

$\alpha \angle ({\vec {a}},{\vec {b}}),\cos \alpha ={\frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}}}$

Ist diese Gleichung nun 0, sind die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ orthogonal.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {0}{\sqrt {87}}}=0$

D.h. die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ sind orthogonal zueinander.

Ebenfalls orthogonal:

${\vec {b}}\cdot {\vec {d}}={\frac {0}{\sqrt {2378}}}=0$

Nicht orthogonal dagegen sind:

${\vec {a}}\cdot {\vec {c}}={\frac {-9}{3}}=-3$

${\vec {a}}\cdot {\vec {d}}={\frac {27}{\sqrt {249}}}=1,71$

${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\frac {-16}{\sqrt {261}}}=-0,99$

${\vec {c}}\cdot {\vec {d}}={\frac {-27}{\sqrt {729}}}=-1$