Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 1/latex

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\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}





\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Abbildung \maabbele {f} {\N} {\N } {n} {\betrag { n-2 } } {.}

\aufzaehlungvier{Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? }{Es sei
\mathl{A:=\{1,2,3\}}{.} Berechne
\mathl{f(A)}{} und
\mathl{f^{-1}(A)}{.} }{Berechne
\mathl{f(f^{-1}(A))}{} und
\mathl{f^{-1}(f(A))}{.} }{Führe die Rechnungen aus 1. und 2. für die Menge
\mathl{B:=\{2,3,4\}}{} aus. Was fällt auf? }

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabb {f} {L} {M } {} und \maabb {g} {M} {N } {} Abbildungen. Zeige die folgenden beiden Aussagen: \aufzaehlungzwei {Wenn $f$ surjektiv ist und die Komposition
\mathl{g \circ f}{} injektiv, dann ist $g$ injektiv. } {Wenn die Komposition
\mathl{g \circ f}{} surjektiv ist und $g$ injektiv, dann ist $f$ surjektiv. }

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{(R_i)_{i \in I}}{} eine Familie von \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{} auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt
\mathl{R:=\bigcap_{i \in I} R_i}{} wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für
\mathl{\bigcup_{i \in I} R_i}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die zweielementige Menge
\mathl{M=\{a,b\}}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme alle \definitionsverweis {Relationen}{}{} auf $M$. }{Welche dieser Relationen sind \definitionsverweis {symmetrisch}{}{,} \definitionsverweis {reflexiv}{}{,} \definitionsverweis {transitiv}{}{?} }{Bei welchen Relationen handelt es sich um \definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{?} }

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{P \subseteq \mathfrak {P} \, (M ) \,}{.} Dann heißt $P$ eine
\betonung{Partition}{} von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Für alle
\mathl{A \in P}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mathl{A,B \in P}{,}
\mathl{A \neq B}{,} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$. } Beweise, dass die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mathl{M/\sim \, = \{[x] : x \in M \}}{} zu einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ eine Partition der Menge $M$ ist.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{P \subseteq \mathfrak {P} \, (M )}{} eine Partition. Zeige, dass $P$ durch


\mathdisp {x \sim y, \text{ falls es ein } A \in P \text{ gibt mit } x \in A \text{ und } y \in A} { , }
eine Äquivalenzrelation auf $M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition
\mathl{\{ \{1\},\{2,3,4\},\{5,6\}, \{7\} \}}{} der Menge
\mathl{\{1,2,3,4,5,6,7 \}}{.}

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die folgende Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 5 \text{ teilt } x-y} { . }
Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Relation.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\N} {\Z } {n} {\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} } {} Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I \subseteq \R}{} ein Intervall und betrachte die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1(I,\R) }
{ \defeq} {\{f: I \rightarrow \R: f \text{ ist differenzierbar} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mathl{f,g \in C^1(I,\R)}{} definieren wir
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls es ein } c \in \R \text{ gibt mit } f(x)=g(x) + c \text { für alle } x \in I} { . }
Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.

}
{} {}




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