Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{W11}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
\mathl{\varphi \in \operatorname{End}(V)}{.} Man mache sich nochmal die folgenden wichtigen Aussagen klar:
\aufzaehlungdrei{Ist $\lambda$ ein Eigenwert von $\varphi$, so ist
\mathl{\operatorname{Eig}_\lambda(\varphi)=\ker(\varphi - \lambda \, id)}{.}
}{$\varphi$ hat nur endlich viele Eigenwerte.
}{ $\lambda$ ist genau dann Eigenwert von $\varphi$, wenn
\mathl{\chi_\varphi(\lambda)=0}{} gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
\aufzaehlungdrei{Die lineare Abbildung $\varphi$ ist ein Isomorphismus.
}{$0$ ist kein Eigenwert von $\varphi$.
}{Der konstante Term des charakteristischen Polynoms $\chi_\varphi$ ist
\mathl{\neq 0}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\-3 & 3 & 5 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne:
\aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$
}{die zugehörigen Eigenräume;
}{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
}{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mathl{A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } ( {\mathbb K} )}{.} Untersuche ob $A$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist in Abhängigkeit von ${\mathbb K}$ (d.h., ${\mathbb K} = \R$ oder ${\mathbb K}={\mathbb C}$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit
\mathl{D=C^{-1}AC}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ 3 } (\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Ax
}
{ = }{ (1,0,2)^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der Cramerschen Regel
\zusatzklammer {man überlege sich natürlich vorher, ob man diese
Regel überhaupt anwenden darf} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mathl{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}({\mathbb K})}{.} Untersuche ob $A$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist in Abhängigkeit von ${\mathbb K}$ (d.h., ${\mathbb K} = \R$ oder ${\mathbb K}={\mathbb C}$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit
\mathl{D=C^{-1}AC}{} an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\R)}{} und
\mathl{F=a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1}+ \ldots + a_1 X + a_0 \in \R[X]}{}
ein reelles Polynom. Weiter sei
\mathl{v \in \R^n}{} ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $v$ ein Eigenvektor von $F(A)$ zum Eigenwert $F(\lambda)$ ist.
} {Wenn $A$ diagonalisierbar ist, so auch $F(A)$.
}
}
{} {}