Kurs:Wirtschaftsinformatik WS09 Induktive Statistik/Lernskript
Begriffe und Sätze der Wahrscheinlichkeitsalgebra
Bearbeiten1 Grundlegende Begriffe und Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
BearbeitenÜbergang von der deskriptiven zur induktiven Statistik
Bearbeiten- Methoden, die es erlauben von den Beobachtungen einer Teilgesamtheit (=Stichprobe) auf bestimmte Charakteristika der dazugehörenden Gesamtheit (=Grundgesamtheit) zu schließen.
- Induktives schließen, statistische Inferenz, Repr¨asentationsschluss Schluss von einer Teilgesamtheit auf die Grundgesamtheit
Zufallsvorgänge und Stichprobenraum
BearbeitenInformelle Charakterisierung: Zufallsvorgang (ZV)
- besitzt verschiedene, sich gegenseitig ausschließende Ausgänge, die vorher schon bekannt sind
- nicht vorhersehbar, welcher Ausgang eintreten wird
Informelle Charakterisierung: Zufallsexperiment (ZE)
- Liegt vor, wenn ein Zufallsvorgang unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist.
Informalle Charakterisierung: Stichprobenraum Ω
- Menge der Ausgänge (die mit bezeichnet werden) eines ZV bzw. ZE:
Ω = { }
Der Stichprobenraum kann endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich viele Ausgänge enthalten.
Beispiele:
- (1) Zufallsvorgang ”Werfen eines Würfels“ : sechs mögliche Ausgänge; Ω ist endlich und lässt
sich schreiben als:
Ω = { } = { , i = 1,2,...,6} = {1,2,3,...,6}
- (2) Wirft man eine M¨unze, deren Seiten mit Zahl (Z) und Kopf (K) geprägt sind, so oft, bis
zum ersten Mal der Ausgang ”Zahl“ erscheint, lauten die möglichen Ausgänge:
- = Z , (zum ersten Mal ”Zahl“ im ersten Wurf)
- = KZ , (zum ersten Mal ”Zahl“ im zweiten Wurf)
- .
- .
- .
- = K...KZ , (zum ersten Mal ”Zahl“ im k-ten Wurf), (n-1)-mal K
- .
- .
- .
Der Stichprobenraum ist hier abzählbar unendlich:
Ω = { }
(3) Zufallsvorgang ” in Minuten gemessene Verspätung eines Zuges“ mit Ausgängen des geschlossenen Intervalls [0 min, 10 min]. Bei unendlicher Messgenauigkeit sind überabzählbar unendlich viele Verspätungen/Ausgänge möglich, da das Intervall [0;10] Teilmenge der reellen Zahlen ist.
Ereignis– und σ–Algebra
Bearbeiten(Zufalls–)Ereignis
Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraumes Ω.
- Sicheres Ereignis: Ω
- Unmögliches Ereignis: ∅
- Elementarereignis: { }
- Zusammengesetztes Ereignis: { }
Potenzmenge PM(Ω) Die Menge aller möglichen Ereignisse (=Teilmengen) stellt die Potenzmenge dar.
Berechnung: | PM(Ω) | = mit m: Anzahl der möglichen Ausgänge eines ZV/ZE
Aufgabe 1.1
BearbeitenGeben Sie für das ZE einmaliger Würfelwurf die Potenzmenge an! Aus welchen Ereignissen besteht die Potenzmenge?
Ω = {K,Z}
PM(Ω) = { ∅, K, Z, Ω} , insgesamt Elemente in der Potenzmenge
Beziehungen zwischen den möglichen Ereignissen
- Vereinigungsereignis:
- Durchschnittsereignis:
- Komplementärereignis:
- Disjunkte Ereignisse: = ∅
- Differenzereignis (=Relatives Komplement):
Borelsche Algebra
BearbeitenEine Borel'sche Algebra ist eine abzählbar unendliche Algebra. Die Borel'sche Algebra definieren wir intutionistisch mit der Konstruktionsvorschrift. Die Borel'sche Algebra enthält Wunschereignisse und gleichzeitig die minimale Anzahl weiterer Ereignisse, die durch die Mengenoperationen Komplement, Durchschnitt und Vereinigung erzeugt wurden.
Kontruktionsvorschrift:
- Wunschereignisse gehören zur Borelschen Algebra
- Komplementereignisse gehören zur Borelschen Algebra
- Ereignisse gehören zur Borelschen Algebra
- Ereignisse gehören zur Borelschen Algebra