Kurs:Wirtschaftsinformatik WS09 Induktive Statistik/Lernskript

Begriffe und Sätze der Wahrscheinlichkeitsalgebra

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1 Grundlegende Begriffe und Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Übergang von der deskriptiven zur induktiven Statistik

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  • Methoden, die es erlauben von den Beobachtungen einer Teilgesamtheit (=Stichprobe) auf bestimmte Charakteristika der dazugehörenden Gesamtheit (=Grundgesamtheit) zu schließen.
  • Induktives schließen, statistische Inferenz, Repr¨asentationsschluss Schluss von einer Teilgesamtheit auf die Grundgesamtheit

Zufallsvorgänge und Stichprobenraum

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Informelle Charakterisierung: Zufallsvorgang (ZV)

  • besitzt verschiedene, sich gegenseitig ausschließende Ausgänge, die vorher schon bekannt sind
  • nicht vorhersehbar, welcher Ausgang eintreten wird

Informelle Charakterisierung: Zufallsexperiment (ZE)

  • Liegt vor, wenn ein Zufallsvorgang unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist.

Informalle Charakterisierung: Stichprobenraum Ω

  • Menge der Ausgänge (die mit   bezeichnet werden) eines ZV bzw. ZE:

Ω = {   }

Der Stichprobenraum kann endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich viele Ausgänge enthalten.

Beispiele:

  • (1) Zufallsvorgang ”Werfen eines Würfels“ : sechs mögliche Ausgänge; Ω ist endlich und lässt

sich schreiben als:

Ω = {   } = { , i = 1,2,...,6} = {1,2,3,...,6}

  • (2) Wirft man eine M¨unze, deren Seiten mit Zahl (Z) und Kopf (K) geprägt sind, so oft, bis

zum ersten Mal der Ausgang ”Zahl“ erscheint, lauten die möglichen Ausgänge:

  = Z , (zum ersten Mal ”Zahl“ im ersten Wurf)
  = KZ , (zum ersten Mal ”Zahl“ im zweiten Wurf)
.
.
.
  = K...KZ , (zum ersten Mal ”Zahl“ im k-ten Wurf), (n-1)-mal K
.
.
.

Der Stichprobenraum ist hier abzählbar unendlich:

Ω = {   }

(3) Zufallsvorgang ” in Minuten gemessene Verspätung eines Zuges“ mit Ausgängen des geschlossenen Intervalls [0 min, 10 min]. Bei unendlicher Messgenauigkeit sind überabzählbar unendlich viele Verspätungen/Ausgänge möglich, da das Intervall [0;10] Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Ereignis– und σ–Algebra

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(Zufalls–)Ereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraumes Ω.

  • Sicheres Ereignis: Ω
  • Unmögliches Ereignis: ∅
  • Elementarereignis: {   }
  • Zusammengesetztes Ereignis: {   }

Potenzmenge PM(Ω) Die Menge aller möglichen Ereignisse (=Teilmengen) stellt die Potenzmenge dar.

Berechnung: | PM(Ω) | =   mit m: Anzahl der möglichen Ausgänge   eines ZV/ZE

Aufgabe 1.1

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Geben Sie für das ZE einmaliger Würfelwurf die Potenzmenge an! Aus welchen Ereignissen besteht die Potenzmenge?

Ω = {K,Z}

PM(Ω) = { ∅, K, Z, Ω} , insgesamt   Elemente in der Potenzmenge

Beziehungen zwischen den möglichen Ereignissen

  • Vereinigungsereignis:  
  • Durchschnittsereignis:  
  • Komplementärereignis:  
  • Disjunkte Ereignisse:   = ∅
  • Differenzereignis (=Relatives Komplement):  

Borelsche Algebra

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Eine Borel'sche Algebra ist eine abzählbar unendliche   Algebra. Die Borel'sche Algebra definieren wir intutionistisch mit der Konstruktionsvorschrift. Die Borel'sche Algebra enthält Wunschereignisse und gleichzeitig die minimale Anzahl weiterer Ereignisse, die durch die Mengenoperationen Komplement, Durchschnitt und Vereinigung erzeugt wurden.

Kontruktionsvorschrift:

  • Wunschereignisse gehören zur Borelschen Algebra  
  • Komplementereignisse   gehören zur Borelschen Algebra  
  •   Ereignisse gehören zur Borelschen Algebra
  •   Ereignisse gehören zur Borelschen Algebra

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

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Grundlegende Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

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Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit und Multiplikationssätze

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Grundlagen der Kombinatorik

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Eindimensionale Zufallsvariablen und ihre Verteilungen

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Definition einer eindimensionalen Zufallsvariablen

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen

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Parameter von Verteilungen

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Ausgewählte diskrete Zufallsvariablen und ihre Verteilungen

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Einpunkt–, Zweipunkt–, Bernoulli– und Gleichverteilung

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Binomialverteilung

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Geometrische Verteilung und negative Binomialverteilung

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Poisson–Verteilung und Poisson-Prozess

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Hypergeometrische Verteilung

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Ausgewählte stetige Verteilungen

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Rechteckverteilung

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Normalverteilung

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Standardnormalverteilung

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Logarithmische Normalverteilung

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Chi-Quadrat–, t– und F –Verteilung

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Zweidimensionale Zufallsvariablen und ihre Verteilungen

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Definition einer zweidimensionalen Zufallsvariablen

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Diskrete und stetige zweidimensionale Zufallsvariablen

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Abhängige Zufallsvariablen

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Zweidimensionale Normalverteilung

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Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen

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Gesetze der großen Zahlen

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Zentraler Grenzwertsatz

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Grundzüge der Stichprobentheorie

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Stichproben und Stichprobenfunktionen

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Verteilungen von Stichprobenfunktionen

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Statistische Schätzverfahren

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Eigenschaften und Konstruktion von Schätzfunktionen

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Punktschätzung von Parametern

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Intervallschätzung von Parametern

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Statistische Testverfahren

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Aufbau von Signifikanztests

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Parametertests

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Nichtparametrische Testverfahren

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