Kurs Diskussion:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 21

Warum ist im ersten Teil des Beweises zu Satz 21.2 die Menge A abgeschlossen und offen? Das bezieht sich doch auf die Abgeschlossenheit bzw. Offenheit in T, oder? Wir wissen: T ist abgeschlossen und offen in sich selbst. Wenn das Intervall ]-∞ , y] abgeschlossen und das Intervall ]-∞ , y[ offen in T ist, wäre auch der Schnitt mit T abgeschlossen bzw. offen. Aber: Wie koennen wir über die Offenheit der Intervalle etwas aussagen, wenn sie keine Teilmenge von T sind?

ist jetzt etwas ausführlicher. Der Punkt ist, dass eine offene Menge ${}U$ in ${}\mathbb {R}$ eine offene Menge ${}U\cap T$ in ${}T$ induziert.

Und warum ist das so?

Aufgabe 19.19

Der zweite Teil des Beweises ist hier anders als in der Vorlesung, aber beide verstehe ich nicht. In der Online-Version ist nicht klar, warum s <= t ist.

Diese Version war Quatsch, deshalb gab's in der Vorlesung einen anderen Beweis. Das ist korrigiert.

Und in der Oldschool-Version ist mir der Übergang von einem beliebigen zu einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall nicht klar.

Wenn es eine Teilmenge (=A) in einem beliebigen Intervall gibt, das die ganzen Eigenschaften besitzt, mit denen man unzusammenhängend charakterisiert, so gibt es eine solche Teilmenge

(=A') auch in einem gewissen abgeschlossenen beschränkten Intervall, einfach durch Schneiden. --Bocardodarapti 16:51, 11. Jan. 2010 (CET)

Die Beweislogik ist doch aber eine andere (die ich in meiner studentischen Naivität nicht verstehe): Vorausgesetzt wird, dass T ein Intervall ist. Zunächst wird angenommen, dass T nicht zusammenhängend ist (was also auf einen Widerspruch geführt werden soll). Dann wird zunächst gefolgert, dass A' (eine gewisse Teilmenge von T) nicht zusammenhängend ist. Von da an wird nur noch I betrachtet, was schließlich in einem Widerspruch mündet. Dieser bedeutet doch aber nur, dass es eine Teilmenge A, die die Eigenschaften für unzusammenhängend in Bezug auf I (also eine Teilmenge von T) erfüllt, nicht geben kann. Warum kann nicht A diese Eigenschaften für T haben?

Janos 23:53, 11. Jan. 2010 (CET)

Die Argumentation ist kurz gesagt so: wenn es ein nicht zusammenhängendes Intervall geben würde, dann würde es auch ein nicht zusammenhängendes beschränktes und abgeschlossenes Intervall geben.--Bocardodarapti 15:58, 12. Jan. 2010 (CET)

Janos 13:24, 11. Jan. 2010 (CET)