Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}t'\in I$, ${}t'\neq t$. Es ist

${}{\begin{aligned}{\frac {f(t')-f(t)}{t'-t}}&={\frac {\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t')\cdot v_{j}-\sum _{j=1}^{n}f_{j}(t)\cdot v_{j}}{t'-t}}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}(t')-f_{j}(t)}{t'-t}}\cdot v_{j}.\end{aligned}}$

Nach Aufgabe existiert der Limes links für ${}t'\rightarrow t$ genau dann, wenn der entsprechende Limes rechts komponentenweise existiert.

Zur bewiesenen Aussage