Kurve/Morphismus/Rein-inseparabel/Grundgleichung/Vorgeschobener Divisor/Fakt/Beweis

Beweis

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung ${}p$ in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch ${}V\rightarrow V[X]/(X^{p}-b)=W$ mit einem ${}b\in V$ gegeben. Für eine Ortsuniformisierende ${}\pi _{1}\in V$ ist ${}\pi _{2}=u\pi _{1}^{p}$ mit einer Einheit ${}u$. Für ${}f\in W$ ist ${}f^{p}\in V$ und aus

${}f=v\pi _{2}^{n}\,$

folgt direkt

${}f^{p}=v^{p}\pi _{2}^{pn}=v^{p}\pi _{1}^{n}\,,$

die Ordnung von ${}f$ oben stimmt also mit der Ordung von ${}f^{p}$ unten überein.

Zur bewiesenen Aussage