Kurven/Standardbeispiel/Komplettierung/Motivation/Beispiel

Das Polynom

$Y^{2}-X^{3}-X^{2}$

besitzt im ${}\mathbb {R} ^{2}$ ein Nullstellengebilde, das sich selbst transversal (also nicht tangential) überkreuzt. Die dabei entstehende Singularität sieht also mikroskopisch betrachtet aus wie der Kreuzungspunkt des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{2}$, das ja die Nullstelle des Polynoms ${}XY$ ist. Es gibt aber einen erheblichen Unterschied: Der zugehörige Ring ${}K[X,Y]/(XY)$ (${}K$ ein beliebiger Körper) ist kein Integritätsbereich (es ist ja $XY=0$, aber $X,Y\neq 0$),

während ${}K[X,Y]/(Y^{2}-X^{3}-X^{2})$ ein Integritätsbereich ist. Letzteres beruht im Wesentlichen darauf, dass

${}X^{3}+X^{2}=X^{2}(X+1)\,$

keine Quadratwurzel in ${}K[X]$ besitzt. Problematisch ist der Faktor ${}X+1$. Die (Nicht)-Integrität bleibt auch erhalten, wenn man zur Lokalisierung am maximalen Ideal ${}(X,Y)$ übergeht. Wenn man hingegen die Situation reell oder komplex in einer kleinen ${}\epsilon$-Umgebung des Nullpunktes ansieht, so besitzt ${}X^{3}+X^{2}=X^{2}(X+1)$ eine wohldefinierte Quadratwurzel, nämlich ${}{\sqrt {X+1}}$. Reell bei ${}X\leq -1$ ist dies nicht definiert, für betragsmäßig kleine ${}X$ ist dies aber unproblematisch. Mit einer solchen Wurzel ist dann

${}Y^{2}-X^{2}(X+1)=(Y-X{\sqrt {X+1}})(Y+X{\sqrt {X+1}})\,,$

und das beschreibende Polynom zerfällt in zwei Faktoren, die den beiden sich schneidenden Komponenten entsprechen.

Es wäre wünschenswert, über eine algebraische Konstruktion zu verfügen, in der die verschiedenen Komponenten ebenfalls sichtbar werden. Dies leistet die Komplettierung, die eine besonders nahe/feine Beschreibung der Singularität bereitstellt.