Die Funktion
-
ist
stetig
nach
Aufgabe,
aber nicht
rektifizierbar.
Für jedes
ist
,
wobei das Vorzeichen davon abhängt, ob
gerade oder ungerade ist. Für jedes
ist daher
.
Wählt man dann die Unterteilungspunkte
-
![{\displaystyle {}0<x_{k}<x_{k-1}<\ldots <x_{1}<x_{0}={\frac {2}{\pi }}<1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac65c1dfa902392eb672b5b82d924d9aa2e66d1)
so ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs mindestens gleich
-
![{\displaystyle {}\sum _{n=1}^{k}2x_{n}=2\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n\pi +{\frac {1}{2}}\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}\geq {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1335abdffc334478722e49122a701995d6e26b74)
Wegen der
Divergenz
der
harmonischen Reihe
ist dieser Ausdruck für
nicht beschränkt. Daher kann das Supremum über alle Streckenzüge nicht existieren und die Kurve ist nicht rektifizierbar.