Lehrerbedarf in Deutschland

Thema und Zielsetzung

Nach Warnungen des Verbands Bildung und Erziehung (VBE) steuere Deutschland „sehenden Auges in einen pädagogischen Notstand“. Schätzungen des Lehrerverbands zufolge fehlen zu Beginn des Schuljahres 2019/20 an deutschen Schulen 15.000 Lehrerinnen und Lehrer. Bereits bis zum Jahr 2025 mangelt es laut einer Prognose von Die Zeit an etwa 200.000 Lehrkräften. Dieser Problematik widmet sich das folgende Projekt: Wie entwickeln sich die Schüler- und Lehrerzahlen in Grundschulen in den nächsten Jahren unter Berücksichtigung der Geburten- und Sterberate einzelner Jahrgänge? Welchen Einfluss hat die Wachstumsrate, die Migrationsentwicklungen berücksichtigt, auf die Schülerzahlen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Lehrerbedarf und altersbedingten Pensionierungen im Schulsystem? In diesem Modellierungsprojekt soll der Lehrerbedarf an deutschen Grundschulen bis zum Jahr 2046 prognostiziert werden. Dabei wird die Annahme getroffen, dass alle Kinder die Grundschule in vier Schuljahren durchlaufen.

Zuordnung zu Nachhaltigkeitszielen

Quality Education
- Eine qualitativ hochwertige Bildung kann nur gewährleistet werden, wenn es genügend ausgebildete Lehrkräfte in Schulen gibt, die das Wissen vermitteln. Ein deutschlandweiter Lehrermangel trägt nicht zum Erreichen dieses Zieles bei.

Decent Work and Economic Growth
- Eine qualitätsvolle Lehre stellt die Weichen für ein zukünftiges Wirtschaftswachstum. Defizite in der Zahl der Lehrkräfte wirken sich negativ auf die Qualität der Bildung aus, sodass Schülerinnen und Schüler nicht angemessen auf die Gegebenheiten in der Gesellschaft und Wirtschaft vorbereitet werden können.

Reduced Inequalities
- Da der Lehrermangel zwischen den einzelnen Bundesländer variiert, sollte das übergeordnetes Ziel sein, Ungleichheiten zwischen den Bundesländer auszugleichen. Damit könnte verhindert werden, dass sich die Situation in einzelnen Bundesländern dramatisch zuspitzt.

Peace, Justice and Strong Institutions
- Die Institution Schule bildet nur dann eine starke Institution, wenn sie von einem ausreichend großen Lehrerkollegium getragen wird. Zur inklusive Bildung braucht es zusätzliches Fachpersonal, welches die Lehrkraft unterstützt und zum Gelingen einer Integration beiträgt.

Rohdaten

Modellierungszyklus 1

Geburtenzahlen in Deutschland nach Jahren
Jahr	Geburten (absolut)
2011	662.685
2012	673.544
2013	682.069
2014	714.927
2015	737.575
2016	792.141
2017	784.901
2018	787.523

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/235/umfrage/anzahl-der-geburten-seit-1993/

Zur Bestimmung der Kindersterblichkeit in Deutschland wurden verschiedene Statistiken miteinander verglichen, wobei die Werte zwischen 3,4 und 3,8 Todesfällen je 1000 Geburten schwankten. Für den Modellierungszyklus wurde deshalb eine Kindersterblichkeitsrate von durchschnittlich 3,5 pro 1000 Geburten angenommen. Es ist davon auszugehen, dass aufgrund medizinischer Fortschritte die Kindersterblichkeit in den kommenden Jahren eher zurückgeht.

https://www.indexmundi.com/de/deutschland/kindersterblichkeit.html

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_L%C3%A4nder_nach_Kindersterblichkeitsrate

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/810933/umfrage/kindersterblichkeit-in-den-eu-laendern/

Altersverteilung der Grundschullehrkräfte in Deutschland
Alter	Anzahl der Grundschullehrkräfte
unter 30	18000
30-35	25728
35-40	25791
40-45	26466
45-50	32079
50-55	25905
55-60	24258
60-64	19737

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bildung-Forschung-Kultur/Schulen/Publikationen/Downloads-Schulen/allgemeinbildende-schulen-2110100187004.pdf?__blob=publicationFile&v=5

Verhältnis Schülerzahlen/Lehrerstellen
Jahr	Grundschüler	VZLE	Schüler/VZLE
2008	3033300	164100	18,48
2009	2952700	160000	18,45
2010	2877100	165700	17,36
2011	2832100	166600	17,00
2012	2795600	168000	16,64
2013	2772100	168700	16,43
2014	2789200	170700	16,34
2015	2808900	172900	16,25
2016	2873300	176600	16,27
2017	2903600	180000	16,13
			16,94

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bildung-Forschung-Kultur/Schulen/Publikationen/Downloads-Schulen/allgemeinbildende-schulen-2110100197004.pdf?__blob=publicationFile

Beschäftigungsstatus der Grundschullehrkräfte in Deutschland
Jahr	Lehrer Vollzeit	Teilzeit	Stundenweise	Summe	VZLE
2010	103096	94782	30560	228438	162000	0,71
2011	104281	91776	31040	227097	163900	0,72
2012	103328	90146	31569	225043	163400	0,73
2013	103549	88140	30813	222502	164200	0,74
2014	104652	87009	31564	223225	165000	0,74
2015	105121	87521	30829	223471	164900	0,74
2016	105765	89002	29560	224327	165900	0,74
2017	107182	90445	28095	225722	167300	0,74
2018	107061	93015	29184	229260	170400	0,74
					173400	0,73

https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bildung-Forschung-Kultur/Schulen/Publikationen/Downloads-Schulen/allgemeinbildende-schulen-2110100197004.pdf?__blob=publicationFile

Modellierungszyklus 2

Altersstruktur der deutschen Bevölkerung
Alter	Anzahl
0-16	12073923
17-45	28733067
46-Ende	41481463

https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1351/umfrage/altersstruktur-der-bevoelkerung-deutschlands/

Geburtenrate 1,57: https://www.destatis.de/DE/Themen/Gesellschaft-Umwelt/Bevoelkerung/Geburten/_inhalt.html

Kindersterblichkeit 0,0035: siehe Modellierungszyklus 1

Sterberate der Altersklasse der Eltern und Alten: https://www.hupfeld-software.de/dokuwiki/doku.php/dynasys:bevoelkerungsmodelle

Modellierungszyklus 3

Absolutbevölkerung und Wachstum in Deutschland
Jahr	Bevölkerung	Wachstumsrate
1952	70 266 567	0.45 %
1953	70 571 092	0.43 %
1954	70 868 205	0.42 %
1955	71 164 714	0.42 %
1956	71 468 655	0.43 %
1957	71 789 287	0.45 %
1958	72 136 752	0.48 %
1959	72 521 379	0.53 %
1960	72 951 963	0.59 %
1961	73 433 078	0.66 %
1962	73 962 492	0.72 %
1963	74 529 442	0.77 %
1964	75 115 578	0.79 %
1965	75 700 752	0.78 %
1966	76 274 377	0.76 %
1967	76 832 446	0.73 %
1968	77 358 938	0.69 %
1969	77 824 636	0.60 %
1970	78 202 438	0.49 %
1971	78 475 692	0.35 %
1972	78 642 442	0.21 %
1973	78 716 494	0.09 %
1974	78 723 406	0.01 %
1975	78 690 628	-0.04 %
1976	78 635 900	-0.07 %
1977	78 564 600	-0.09 %
1978	78 475 721	-0.11 %
1979	78 365 866	-0.14 %
1980	78 232 272	-0.17 %
1981	78 074 948	-0.20 %
1982	77 901 359	-0.22 %
1983	77 734 900	-0.21 %
1984	77 612 114	-0.16 %
1985	77 568 393	-0.06 %
1986	77 620 943	0.07 %
1987	77 768 129	0.19 %
1988	78 005 660	0.31 %
1989	78 330 864	0.42 %
1990	78 736 514	0.52 %
1991	79 220 988	0.62 %
1992	79 779 840	0.71 %
1993	80 375 970	0.75 %
1994	80 941 393	0.70 %
1995	81 409 843	0.58 %
1996	81 741 836	0.41 %
1997	81 932 302	0.23 %
1998	82 002 008	0.09 %
1999	81 988 007	-0.02 %
2000	81 930 878	-0.07 %
2001	81 852 682	-0.10 %
2002	81 754 634	-0.12 %
2003	81 634 655	-0.15 %
2004	81 493 636	-0.17 %
2005	81 332 296	-0.20 %
2006	81 151 353	-0.22 %
2007	80 955 210	-0.24 %
2008	80 760 211	-0.24 %
2009	80 592 796	-0.21 %
2010	80 477 496	-0.14 %
2011	80 429 986	-0.06 %
2012	80 451 309	0.03 %
2013	80 523 746	0.09 %
2014	80 767 463	0.30 %
2015	81 197 537	0.53 %
2016	81 248 691	0.06 %
2017	81 299 878	0.06 %
2018	81 351 097	0.06 %
2019	81 402 348	0.06 %

https://countrymeters.info/de/Germany

Abb. 1: Prozentuale Wachstumsrate der Bevölkerung in Deutschland nach Jahren

Modellierungszyklen

Modellierungszyklus 1

Abb. 2: Flussdiagramm zur Übersicht des 1. Modellierungszyklus

Ziel des 1. Modellierungszyklus ist es, den Bedarf an Lehrkräften für Grundschulen bis 2046 über diskrete Rechnungen zu prognostizieren. Dazu wurden folgende Daten eingeholt:

Absolute Geburtenzahlen in Deutschland für die Jahre 2011 – 2018

Kindersterblichkeitsrate in Deutschland

Verhältnis von SuS pro Vollzeitlehrkraft

Altersstruktur der bediensteten Lehrkräfte für das Schuljahr 2018/19

Aufschlüsselung der Gesamtzahl an Lehrkräften in Vollzeit, Teilzeit und stundenweise

Ausgehend von den Daten des Statistischen Bundesamtes über die absoluten Geburtenzahlen in Deutschland für die Jahre 2010 – 2018 lassen sich die Einschulungen abzüglich der Kindersterblichkeitsrate bis 2040 bestimmen. Folglich ergibt sich die Zahl der Einschulungen als Differenz aus Geburten und Sterbezahl. Dabei wurden folgende Annahmen getroffen: Die Kinder werden 6 Jahre nach ihrer Geburt eingeschult, wobei vereinfacht von einer Kindersterblichkeit von konstant 3,5 pro 1000 Kindern ausgegangen wird. Genauer besagt die Kindersterblichkeitsrate, dass von 1000 lebendgeborenen Kindern eines Geburtenjahrgangs 3,5 in den ersten fünf Lebensjahren sterben. An dieser Stelle wurden die absoluten Sterbefälle auf ganze Zahlen gerundet. Aus den absoluten Geburtenzahlen werden mit Hilfe linearer Regression und Interpolation die Geburtenzahlen bis zum Jahr 2040 mit der Funktionsgleichung $f(t)=18294\cdot (t-2010)+650525$ (mit t:=Jahreszahl) angenähert. Daraus resultieren die Einschulungen bis 2046, indem die Anzahl der Grundschüler an deutschen Grundschulen als Summe der in den letzten 4 Jahren eingeschulten Kinder errechnet wird. Nicht berücksichtigt werden weitere Todesfälle und Klassenwiederholungen während der Grundschulzeit.

Aus der statistischen Veröffentlichung der KMK „Schüler, Klassen, Lehrer und Absolventen der Schulen 2008 – 2017“ wurde berechnet, dass durchschnittlich 16 Grundschüler auf eine Vollzeitlehrstelle kommen. Will man die aktuelle Relation zwischen Schülern und Lehrern aufrechterhalten, so muss auch in den kommenden Jahren eine Vollzeitlehrerstelle auf 16 Schüler kommen. Somit ergibt sich: $VZLE={\frac {AnzahlGrundschueler}{16}}$ .

Aus einem weiteren Bericht geht hervor, wie sich die Vollzeitlehrereinheiten auf die in Vollzeit, Teilzeit und stundenweise beschäftige Lehrkräfte aufteilt. Über die Gesamtzahl der VZLE/Zahl der Beschäftigten ergibt sich eine durchschnittliche Beschäftigung einer jeden Lehrkraft zwischen 70% und 75%. Die Modellierung strebt auch für die kommenden 26 Jahre ein solches Verhältnis an und geht daher vom Mittelwert der vergangenen Jahre gerundet auf durchschnittliche 73%-Stellen aus. Daraus folgt, dass sich der gesamte Bedarf an Lehrkräften aus dem Quotienten ${\frac {VZLE}{0,73}}$ ergibt.
Im letzten Schritt wird die Altersstruktur der bediensteten Lehrkräfte im Schuljahr 2018/19 im Alter zwischen 50 und 64 Jahren betrachtet. Hierbei wird von einer Gleichverteilung innerhalb der jeweils 5 Jahre umfassenden Altersstufen ausgegangen. Es gilt die folgende Annahme: Jeder Lehrer geht im Alter von 64 Jahren in Pension. Dienstunfähigkeit oder andere Gründe für ein frühzeitiges Ausscheiden aus dem Lehrerberuf bleiben unberücksichtigt. Die in der Altersverteilung auftauchenden über 65-Jährigen bleiben mit ihrer vergleichsweise geringen Anzahl von 1827 außen vor.

Der absolute Bedarf an Neueinstellungen von 2019 bis 2046 ergibt sich schließlich als Differenz der absoluten Lehrerzahlen und vorhandenen Lehrkräfte zuzüglich der altersbedingten Pensionierungen: Neueinstellungen = absolute Lehrerzahlen - vorhandene Lehrkräfte + Anzahl der Pensionierungen.

Eine wichtige Anmerkung an dieser Stelle sei folgendermaßen gegeben: Beim absoluten jährliche Bedarf an Neueinstellungen wird davon ausgegangen, dass der Bedarf aus dem vorhergehenden Jahr vollständig gedeckt wurde. Andernfalls würde sich der Bedarf an Neueinstellungen aufsummieren!

Ergebnisse
Jahr	Geburten in Deutschland	Sterbefälle (s=3,5/1000)	Differenz (Überlebende eines Jahrgangs)	Einschulungen mit 6 Jahren	Gesamtzahl der Grundschüler	Benötigte VZLE	absoluter Lehrerbedarf (VZ,TZ, stundenweise)	Pensionierungen	Absoluter jährlicher Bedarf an Neueinstellungen
2010	677947	2373	675574
2011	662685	2319	660366
2012	673544	2357	671187
2013	682069	2387	679682
2014	714927	2502	712425
2015	737575	2582	734993
2016	792141	2772	789369	675574
2017	784901	2747	782154	660366
2018	787523	2756	784767	671187			229260
2019	815171	2853	812318	679682	2686808	167926	230035	3947	4722
2020	833465	2917	830548	712425	2723659	170229	233190	3947	7102
2021	851759	2981	848778	734993	2798287	174893	239579	3947	10336
2022	870053	3045	867008	789369	2916469	182279	249698	3947	14065
2023	888347	3109	885238	782154	3018941	188684	258471	3947	12720
2024	906641	3173	903468	784767	3091283	193205	264665	4852	11046
2025	924935	3237	921698	812318	3168607	198038	271285	4852	11472
2026	943229	3301	939928	830548	3209786	200612	274810	4852	8378
2027	961523	3365	958158	848778	3276410	204776	280515	4852	10556
2028	979817	3429	976388	867008	3358651	209916	287556	4852	11893
2029	998111	3493	994618	885238	3431571	214473	293799	5181	11424
2030	1016405	3557	1012848	903468	3504491	219031	300042	5181	11424
2031	1034699	3621	1031078	921698	3577411	223588	306285	5181	11424
2032	1052993	3685	1049308	939928	3650331	228146	312528	5181	11424
2033	1071287	3750	1067537	958158	3723251	232703	318771	5181	11424
2034	1089581	3814	1085767	976388	3796171	237261	325015	6416	12659
2035	1107875	3878	1103997	994618	3869091	241818	331258	6416	12659
2036	1126169	3942	1122227	1012848	3942011	246376	337501	6416	12659
2037	1144463	4006	1140457	1031078	4014930	250933	343744	6416	12659
2038	1162757	4070	1158687	1049308	4087850	255491	349987	6416	12659
2039	1181051	4134	1176917	1067537	4160770	260048	356230	5293	11536
2040	1199345	4198	1195147	1085767	4233690	264606	362473	5293	11536
2041	1217639	4262	1213377	1103997	4306610	269163	368717	5293	11536
2042	1235933	4326	1231607	1122227	4379530	273721	374960	5293	11536
2043	1254227	4390	1249837	1140457	4452450	278278	381203	5293	11536
2044	1272521	4454	1268067	1158687	4525370	282836	387446	5158	11401
2045	1290815	4518	1286297	1176917	4598289	287393	393689	5158	11401
2046	1309109	4582	1304527	1195147	4671209	291951	399932	5158	11401

Abb. 3: Absoluter Bedarf an Neueinstellungen in deutschen Grundschulen 2019-2046

Vorteile:

anschaulich für das Verständnis der durchgeführten Schritte
Filtern und Anpassen der umfangreichen Datenlage auf die Modellierungsziele

Nachteile:

Annahme einer linearen Geburtenentwicklung entspricht nicht der Realität
Gleichverteilung der Lehrkräfte innerhalb der Altersstufen ist ungenau

Modellierungszyklus 2

Abb.4: Flussdiagramm zur Übersicht des 2. Modellierungszyklus

Ziel des 2. Modellierungszyklus ist es, die Einschulungen in Deutschland mittels einer dreigliedrigen Altersstruktur der Bevölkerung zu modellieren. Dabei wird die deutsche Bevölkerung in folgende Altersklassen gegliedert:

Kinder: 0- bis 16-Jährige (12.073.923)

Eltern: 17- bis 45-Jährige (28.733.067)
Alte: 46- Jährige bis zum Tod (41.481.463)

Man geht davon aus, dass sich nur die mittlere Altersklasse mit einer konstanten Geburtenrate von 1,57 Kindern pro Frau reproduziert. Zusätzlich wird auch die Sterberate für jede Kategorie als konstant angenommen, wobei die Sterberate beim Durchlaufen der Gruppen zunimmt. Als Startwerte dient die Altersaufschlüsselung der deutschen Bevölkerung aus dem Jahr 2018, aus der durch Summieren die Mächtigkeit der einzelnen Gruppen berechnet wurde. Zur Vereinfachung sind innerhalb der einzelnen Bevölkerungsgruppen alle Altersstufen, sowie Männer und Frauen gleichverteilt. In diesem Projekt konnte die letzte Altersgruppe vernachlässigt werden, da sie keine Auswirkungen auf die Anzahl der Einschulungen hat.

Legende für die Gleichungen
Bezeichnung	Erläuterung
Kinder_n	Anzahl der Kinder
Kinder_a	entspricht Kinder_alt, d.h. Anzahl der Kinder aus dem vorhergehenden Jahr
Kinder_E	entspricht der Anzahl der Kinder, die in die Gruppe der Eltern übergehen
Sterbefälle_K	Sterbefälle der Kinder
Eltern_n	Anzahl der Eltern
Eltern_a	entspricht Eltern_alt, d.h. Anzahl der Eltern aus dem vorhergehenden Jahr
Eltern_A	entspricht der Anzahl der Eltern, die in die Gruppe der Alten übergehen
Sterbefälle_E	Sterbefälle der Eltern
Alte_n	Anzahl der Alten
Alte_a	entspricht Alte_alt, d.h. Anzahl der Alten aus dem vorhergehenden Jahr
Sterbefälle_A	Sterbefälle der Alten

Für die zukünftigen Änderungen der unterschiedlichen Altersgruppen ergibt sich folgendes diskretes Populationsmodell:

$Kinder_{n}=Kinder_{a}+dt\cdot (Babies-Kinder_{E}-Sterbefaelle_{K})$

Hilfsgleichungen:

$Babies=Fertilitaet=(Eltern\cdot 0,5\cdot 1,57)\cdot {\frac {1}{29}}$ mit einer Geburtenrate von 1,57

$Kinder_{E}=Kinder\cdot {\frac {1}{17}}$

$Sterbefaelle_{K}=Kinder\cdot 0,0035$ mit einer Kindersterblichkeitsrate von 0,0035

$Eltern_{n}=Eltern_{a}+dt\cdot (Kinder_{E}-Eltern_{A}-Sterbefaelle_{E})$

Hilfsgleichungen:

$Eltern_{A}=Eltern\cdot {\frac {1}{29}}$

$Sterbefaelle_{E}=Eltern\cdot 0,005$ mit einer Sterberate von 0,005

Der Vollständigkeit wegen wird an dieser Stelle noch die Differentialgleichung der letzten Altersklasse hinzugefügt, die allerdings ohne Verwendung bleibt:

$Alte_{n}=Alte_{a}+dt\cdot (Eltern_{A}-Sterbefaelle_{A})$

Hilfsgleichungen:

$Sterbefaelle_{A}=Alte\cdot 0,025$ mit einer Sterberate von 0,025

Aufgrund der Tatsache, dass die Einschulungen in 1-Jahres-Schritten stattfinden, wird als Schrittweite $dt=1$ gewählt. Ausgehend von den berechneten Zahlen der Altersgruppe der Kinder für die Jahre 2019 bis 2046 mit oben genannter Differentialgleichung, wurden die Einschulungen als ${\frac {1}{17}}$ dieser Gruppe bestimmt. Aufgrund der Gleichverteilung entspricht das Ergebnis genau der Anzahl der 6-Jährigen. Alle nachfolgenden Schritte entsprechen denen des 1. Modellierungszyklus, wobei jedoch auch beim altersbedingten Berufsausstieg der Lehrerinnen und Lehrer Verbesserungen vorgenommen wurden.

Im 1. Modellierungszyklus wurde die Annahme getroffen, dass die Lehrkräfte in Deutschland innerhalb der 5-jährigen Altersstufen gleichverteilt sind. Dies entspricht allerdings nicht der Realität, da die Anzahl in der Gruppe der 60- bis 64-Jährigen beispielsweise durch frühzeitigen Ruhestand mit dem Alter abnimmt. Ähnliche Verschiebungen ergeben sich auch für andere Altersklassen. Auf Grundlage der Altersstufen wurde nun eine normierte Dichtefunktion entwickelt, die abschnittsweise linear zwischen den Grenzen 30 und 65 definiert ist. Dabei entspricht das Integral über der gesamten Funktion der Gesamtzahl der Grundschullehrkräfte in Deutschland. Um die Ausgangsfunktion zu normieren, wurde die Gesamtzahl der Grundschullehrkräfte in Deutschland durch das Integral der Ausgangsfunktion dividiert. Der entstandene Faktor wird schließlich mit der Ausgangsfunktion multipliziert, sodass eine normierte Dichtefunktion entsteht. Durch Auswählen einzelner Intervalle kann mit der entstandenen Funktion jeweils die Anzahl der Lehrkräfte eines bestimmten Alters ermittelt werden.

Abb. 5: Normierte Dichtefunktion zur genaueren Aufschlüsselung der Altersstruktur unter den Lehrkräften

https://www.geogebra.org/m/kmzva7tp

Die normierte Dichtefunktion approximiert die realen Werte der einzelnen Altersklassen recht genau, woraus ein realistischeres Bild für den Lehrerbedarf resultiert.

Die nachfolgende Tabelle fasst den jährlichen Bedarf an Neueinstellungen im Grundschulbereich zusammen.

Ergebnisse
Jahr	Kinder	Eltern	Einschulungen mit 6 Jahren	Gesamtzahl der Grundschüler	benötigte VZLE	absoluter Lehrerbedarf (VZ, TZ, stundenweise)	Pensionierungen	Absoluter jährlicher Bedarf an Neueinstellungen
2018	12073923	28733067					4165
2019	12099208	28308837	711718				4375
2020	12111433	27902844	712437				4585
2021	12111907	27513600	712465	2846851	177928	243737	4795
2022	12101815	27139752	711871	2848492	178031	243878	5005	5146
2023	12082232	26780072	710720	2847493	177968	243792	5215	5130
2024	12054134	26433440	709067	2844123	177758	243504	5425	5136
2025	12018404	26098842	706965	2838623	177414	243033	5618	5147
2026	11975843	25775352	704461	2831213	176951	242398	5712	5078
2027	11927178	25462132	701599	2822092	176381	241617	5788	5007
2028	11873068	25158415	698416	2811441	175715	240706	5865	4953
2029	11814109	24863507	694948	2799423	174964	239677	5941	4912
2030	11750841	24576775	691226	2786188	174137	238543	6044	4911
2031	11683755	24297642	687280	2771869	173242	237318	6305	5079
2032	11613294	24025584	683135	2756588	172287	236009	6591	5283
2033	11539861	23760122	678815	2740456	171278	234628	6878	5497
2034	11463818	23500823	674342	2723572	170223	233183	7165	5719
2035	11385495	23247288	669735	2706028	169127	231680	7384	5882
2036	11305191	22999156	665011	2687904	167994	230129	7191	5639
2037	11223175	22756097	660187	2669275	166830	228534	6930	5335
2038	11139691	22517810	655276	2650209	165638	226901	6670	5038
2039	11054960	22284021	650292	2630766	164423	225237	6409	4744
2040	10969181	22054478	645246	2611000	163188	223545	6177	4485
2041	10882535	21828952	640149	2590963	161935	221829	6117	4401
2042	10795184	21607234	635011	2570698	160669	220094	6085	4350
2043	10707276	21389132	629840	2550246	159390	218343	6054	4303
2044	10618942	21174469	624644	2529643	158103	216579	6023	4259
2045	10530303	20963087	619430	2508924	156808	214805	5995	4221
2046	10441467	20754836	614204	2488117	155507	213024	5988	4207

Abb. 6: Absoluter Bedarf an Neueinstellungen in deutschen Grundschulen von 2022-2046

Vorteile des vorliegenden Zyklus sind:

Berücksichtigung der Altersstruktur der Bevölkerung
Einfließen der Sterberate der reproduzierbaren Generation
realistischer als Zyklus 1
Altersverteilung der Lehrer wird nicht als Gleichverteilung angenommen, sondern mit Hilfe einer normierten Dichtefunktion dargestellt

Demgegenüber stehen folgende Nachteile:

Annahme einer Gleichverteilung innerhalb der Alterskategorien

Sterbe- und Geburtenraten werden als konstant angenommen

Ausgehen von einer idealen Gesellschaft ohne äußere Einflüsse (fehlende Berücksichtigung der Migrationsentwicklung)

Modellierungszyklus 3

Abb. 7: Übersicht 3. Zyklus als Flussdiagramm

Ziel des dritten Modellierungszyklus ist es, den Bedarf an Lehrkräften für Grundschulen bis 2046 mit Hilfe einer Differentialgleichung genauer zu prognostizieren. Dabei soll die Geburtenentwicklung ähnlich wie in Modellierungszyklus 2 über eine Differentialgleichung modelliert werden. Ausgehend von reellen Daten zur Wachstumsrate für die Bevölkerung Deutschlands von 1965 bis 2019, wurde eine Annäherung mit zyklischen Schwankungen durch die Cosinus-Funktion $w(t)={\Biggl (}0,0046\cdot \cos {\Biggl (}{\frac {(t-1,36)\cdot 2\pi }{27,4}}{\Biggr )}+0,0018{\Biggr )}$ getroffen (t entspricht also im Folgenden den Jahreszahlen). https://www.geogebra.org/m/qmp9hwqh

Zusätzlich müssen die Angaben zur Wachstumsrate, die ausschließlich in Prozent vorliegen, durch Multiplikation mit dem Faktor 0,01 umgerechnet werden.

Für den Modellierungszyklus wurden die nachfolgenden Annahmen festgelegt: Die letzten vier Jahre von 2016 bis 2019 werden in der Funktion zur Wachstumsrate vernachlässigt, da diese ab 2016 in einem nahezu gleichbleibenden Verlauf abrupt absinkt.

Die Modellierung der Bevölkerungsentwicklung erfolgte auf Grundlage der hier aufgeführten Differentialgleichung: $dt\cdot B(t)=w(t)\cdot B(t)$ mit obengenannter Wachstumsfunktion.

Unter Zuhilfenahme von Octave wurde die Differentialgleichung mit dem expliziten Euler-Verfahren numerisch gelöst. Hierzu wurde als Ausgangswert für $B(t_{0})=B(2018)=81351097$ gewählt (siehe Skript).

Im nächsten Schritt wurden unter Verwendung des Mittelwerts der Geburtenrate der letzten 27 Jahre (Annahme: Geburtenrate bleibt annährend konstant und pendelt sich auf den Mittelwert ein!) die Geburtenzahlen bis 2046 aus den absoluten Bevölkerungszahlen modelliert $G(t)=B(t)\cdot 9\cdot 10^{-3}$ . Die Modellierung erfolgte wie bei Zyklus 2 bis 2046, da die zyklischen Schwankungen der Wachstumsrate erst dann sichtbare Auswirkungen haben.

Alle anschließenden Schritte erfolgten analog zum Modellierungszyklus 2, eingeschlossen der Approximation der Pensionierungen.

clear all
format short
h=0.5;                                            %Schrittweite in Jahren
m=22                                              %Modellierung in Jahren

B_0=81351097;                                     %Ausgangsbevölkerung
t_0=0;                                            %Startzeitpunkt
n=m/h                                             %Anzahl der Iteration für Modellierung von 22 Jahren

dtB=@(t,y)(0.46*cos((t-1.36)*2*pi*(1/27.4))+0.18)*0.01*y %Gleichung für Bevölkerungsänderung

M(1,1)=t_0                                        %Startwerte für Eulerverfahren werden initialisiert
M(1,2)=2018
M(1,3)=B_0

for i=1:n                                         %Laufvariable läuft von 1 bis 22/h
  M(i+1,2)=M(1,2)+i*h                             %Spalte mit Jahren in Schrittweite h   
  M(i+1,3)=M(i,3)+h*dtB(M(i,1),M(i,3))            %Berechnung von neuer Bevölkerung nach h Jahren mit Differentialgleichung
  M(i+1,1)=M(i,1)+h                               %Jahresschritte Zähler
endfor
                                                  %Eulerverfahren zu Ende

for i=1:m+1
  N(i,:)=M((1/h)*(i-1)+1,:)                       %Abruf der Daten zu den vollen Jahren aus Matrix M
endfor

N(:,4)=N(:,3)*9*10^(-3)                           %Anzahl der Geburten

for i=1:m+1
  N(i+6,5)=N(i,4)*(1-(3.5/1000))                  %Anzahl der Einschulungen pro Jahr
endfor
E=[671187;679682;712425;734993;789369;782154]     %Einschulungen von 2018-2023 aus reelllen Werten übernommen
N(1:6,5)=E                                        %Übernahme der Daten aus E
for i=1:m+4
  N(i+3,6)=sum(N(i:i+3,5))                        %Anzahl der Grundschüler pro Jahr 
endfor
for i=1:7
  N(i+m,2)=N(i+m-1,2)+1                           %Tabelle wird durch Betrachtung der Einschulungen nach 6 JAhren um 6 Zeilen länger. Daher Anpassung der Jahresspalte
endfor

N(:,7)=(N(:,6)*(1/16))/0.73                       %Absoluter Lehrerbedarf bei 16 Schüler pro Lehrer und 73%-Stellen
R=[4165;4375;4585;4795;5005;5215;5425;5618;5712;5788;5865;5941;6044;6305;6591;6878;7165;7384;7191;6930;6670;6409;6177;6117;6085;6054;6023;5995;5988]
                                                  %Pensionäre pro Jahr (aus Dichtefunktion)
N(:,8)=R                                          %Pensionäre in Matrix eintragen
N(1:6,5)=E                                        %Einschulungen von 2018-2023 aus reelllen Werten übernommen
for i=1:m+3
  N(i+4,9)=N(i+4,7)-N(i+3,7)+N(i+4,8)             %Lehrerbedarf unter Berücksichtigung der Renter
end
plot(N(5:29,2),N(5:29,9))                         %Plotten der Daten

Ergebnisse
Jahr	Bevölkerung	Geburten	Einschulungen mit 6 Jahren	Gesamtzahl der Grundschüler	benötigte VZLE	absoluter Lehrerbedarf (VZ, TZ, stundenweise)	Pensionierungen	Absoluter jährlicher Bedarf an Neueinstellungen
2018	81353115	732178	671187				4165
2019	81861904	736757	679682				4375
2020	82385906	741473	712425				4585	7740
2021	82905505	746150	734993	2798287	174893	239579	4795	11184
2022	83400999	750609	789369	2916469	182279	249698	5005	15123
2023	83853662	754683	782154	3018941	188684	258471	5215	13988
2024	84246824	758221	729615	3036131	189758	259943	5425	6897
2025	84566861	761102	734178	3035317	189707	259873	5618	5548
2026	84804048	763236	738878	2984826	186552	255550	5712	1389
2027	84953185	764579	743538	2946210	184138	252244	5788	2482
2028	85013946	765126	747982	2964576	185286	253816	5865	7437
2029	84990922	764918	752042	2982439	186402	255346	5941	7470
2030	84893351	764040	755568	2999129	187446	256775	6044	7473
2031	84734547	762611	758438	3014029	188377	258050	6305	7581
2032	84531099	760780	760565	3026612	189163	259128	6591	7668
2033	84301890	758717	761903	3036473	189780	259972	6878	7722
2034	84067020	756603	762448	3043353	190210	260561	7165	7754
2035	83846704	754620	762241	3047156	190447	260887	7384	7710
2036	83660220	752942	761366	3047957	190497	260955	7191	7260
2037	83524954	751725	759942	3045996	190375	260787	6930	6762
2038	83455581	751100	758117	3041666	190104	260417	6670	6299
2039	83463405	751171	756062	3035486	189718	259888	6409	5880
2040	83555872	752003	753955	3028076	189255	259253	6177	5543
2041			751979	3020113	188757	258571	6117	5435
2042			750307	3012302	188269	257903	6085	5416
2043			749094	3005334	187833	257306	6054	5457
2044			748471	2999851	187491	256837	6023	5554
2045			748542	2996413	187276	256542	5995	5701
2046			749371	2995477	187217	256462	5988	5908

Abb. 8: Absoluter Bedarf an Neueinstellungen in deutschen Grundschulen von 2020-2046

Vorteile:

Berücksichtigung der Migration durch die Wachstumsrate
zyklische Schwankungen der Bevölkerung realistischer
normierte Dichtefunktion spiegelt die Altersverteilung der Lehrkräfte besser wider

Nachteile:

zukünftige Migrationsentwicklungen werden nur bedingt berücksichtigt
Dienstunfähigkeit der Lehrkräfte wird vernachlässigt

Fazit

Interpretation der Ergebnisse

Abb. 9: Gegenüberstellung der Ergebnisse aus Zyklus 1-3

Sowohl bei Zyklus 1, als auch bei Zyklus 3 fließen bis zum Jahr 2028 teilweise noch reale Daten ein. (Der Geburtenjahrgang 2018 besucht 2028 die vierte Klasse.) Dadurch entstehen im Bereich von 2019 bis 2028 deutliche Sprünge, bevor sich die Modellierung schließlich komplett im Lehrerbedarf niederschlägt. Um die Zyklen angemessen vergleichen zu können, muss dementsprechend hauptsächlich der Verlauf ab 2028 betrachtet werden.

Kennzeichnend für den 1. Modellierungszyklus sind lineare Abschnitte über jeweils 5 Jahre, die durch die Annahme einer Gleichverteilung innerhalb der Altersstruktur der Lehrkräfte entstehen. Folglich ändert sich der Lehrerbedarf beim Übergang in die nächste Altersgruppe sprunghaft. Zyklus 1 prognostiziert den größten Lehrerbedarf, da die Geburtenentwicklung als linear steigend angenommen wird.

Nach Annahme des 2. Zyklus ist in den nächsten Jahren ein Rückgang der sich reproduzierenden Generation und damit der Einschulungen zu erwarten. Diese Tendenz überlagert sich mit der Altersstruktur der Lehrkräfte zu einem leichten Anstieg noch bis zum Jahr 2035 und anschließendem langsamen Rückgang.

Aufgrund der periodischen Wachstumsrate der Bevölkerung, die im 3. Modellierungszyklus angenommen wurde, ergibt sich auch hier ein Anstieg des Lehrerbedarfs bis 2035 und eine anschließende Abnahme.

Alle drei Zyklen haben gemeinsam, dass der Lehrerbedarf im Bereich um 2035 am höchsten ist und anschließend, im 1. Zyklus sprunghaft, in Zyklus 2 und 3 allmählich wieder abnimmt. Während die Tendenz im Jahr 2046 im 2. Zyklus noch leicht fallend ist, deutet sich im letzten Modellierungszyklus ein erneuter Anstieg an.

Bewertung

Die Annahme einer linear steigenden Geburtenentwicklung, sowie die Altersgleichverteilung der Grundschullehrkräfte in Zyklus 1 entspricht kaum der Realität. Nichtsdestotrotz bot dieser Zyklus die Möglichkeit, ein Gespür dafür zu bekommen, wie allgemein mit der Datenlage umzugehen ist und von Geburtenzahlen auf den Lehrerbedarf geschlossen werden kann. Zu Verbesserung wurde im zweiten Modellierungszyklus die lineare Annahme verworfen und durch eine Bevölkerungsentwicklung unter Einbezug der groben Altersstruktur ersetzt. Zusätzlich wurde die Altersverteilung der Lehrkräfte durch eine normierte Dichtefunktion, welche die realen Bedingungen genauer widerspiegelt, verbessert. Daraus resultieren wirklichkeitsnahere Zahlen für die jährlichen Pensionierungen. Abschließend wurde unter Berücksichtigung der Wachstumsrate der deutschen Bevölkerung die Migration in den letzten 30 Jahren in Teilen einbezogen. Kritisch zu sehen ist hierbei, dass keine Aussage über die Migrationsentwicklung in Zukunft getroffen werden kann. Dennoch wird der 3. Modellierungszyklus durch seine periodischen Annahmen als am realistischsten angesehen.

Niveauzuordnung

Sekundarstufe I:

	Bezüge zum Rahmenlehrplan RLP
Daten suchen (Geburtenrate, Sterberate, Kindersterblichkeit, Altersverteilung der Bevölkerung)	authentisches Zahlenmaterial wird zur Bearbeitung realitätsnaher Aufgaben herangezogen
Daten in Excel eintragen	Schnelle Durchführung von Berechnungen mit unterschiedlichen Daten
Zu ausgewählten Daten Diagramme erstellen	„Sachverhalte und Daten werden schnell und einfach visualisiert“
Mit vorhandenen Daten die Geburtenentwicklung für die nächsten Jahren mit Hilfe linearer Regression in Excel modellieren (Trendlinie einfügen)	Schulung der Beschaffung von Informationen und der Bewertung von Lösungswegen
Funktion für die Altersstruktur der Lehrkräfte abschnittsweise definieren (über 2-Punkt-Form der Gerade) → Normierung noch nicht möglich	L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen (7/8) „Terme zu Sachproblemen aufstellen, deren Struktur erfassen und für gegebene Werte ausrechnen“
Lineare Gleichungen lösen (Bsp.: nach wie vielen Jahren wird gemäß der Trendliniengleichung ein bestimmter y-Wert erreicht, d.h. wann ist die Kapazität für weiteres Bevölkerungswachstum ausgeschöpft.)	L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen (7/8) „Terme zu Sachproblemen aufstellen, deren Struktur erfassen und für gegebene Werte ausrechnen“

Sekundarstufe II:

	Bezüge zum Rahmenlehrplan RLP
Mit GeoGebra eine Annäherung der Wachstumsfunktion für die Bevölkerung erstellen → Trigonometrische Funktionen (evtl. durch mehrfachen Vergleich mit den reellen Daten verifizieren)	Geeignete mathematische Strukturen und Verfahren zur mathematischen Modellierung des Problems nutzen „Kritische Reflexion und Bewertung des eingeschlagenen Lösungswegs“
Funktion für die Altersstruktur der Lehrkräfte in GeoGebra mittels Integration normieren → Bezug zur Stochastik	Integralrechnung „Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen“
Differentialgleichungen für das Bevölkerungsmodell mit 3 Altersklassen aufstellen	Weiterführung der Differential- und Integralrechnung „Beispiele für Differentialgleichungen und deren Lösung angeben und erklären“
Zu ausgewählten Daten Diagramme erstellen	zur Visualisierung und Interpretation von Daten

Universität

Erstellen eines Algorithmus für das explizite Euler-Verfahren in Octave
Differentialgleichungen aufstellen und mittels Octave numerisch lösen

Modellierungsalternativen

Migration:

Nur im dritten Modellierungszyklus wurde die Migration durch die Wachstumsrate der Bevölkerung berücksichtigt. Als Verbesserung könnte die Altersstruktur der Migranten aufgeschlüsselt werden, um die Relevanz für die Anzahl der Einschulungen besser einschätzen zu können. In dieser Modellierung wurde aufgrund von Schwankungen in der Migrationsentwicklung darauf verzichtet, da sich politisch bedingte Migrationswellen und humanitäre Krisenfälle nicht prognostizieren lassen und somit das Ergebnis verfälschen könnten.

Lehrermangel statt Lehrerbedarf:

Im vorliegenden Projekt wurde der Lehrerbedarf für die kommenden Jahre modelliert. Um Aussagen darüber treffen zu können, wie viele Lehrkräfte tatsächlich fehlen, müsste jedoch der Lehrermangel betrachtet werden. Folglich sollten die Lehramtsstudierenden für das Grundschullehramt an deutschen Universitäten ermittelt werden, um vom Bedarf auf den Mangel zu schließen. Da allerdings keine aufschlussreichen Daten über die Gesamtzahl der studierenden Lehramtsanwärterinnen und Anwärter vorliegen und zudem vermehrt auch Quereinsteiger eingesetzt werden, ist eine genaue Modellierbarkeit dieses Zusammenhangs fragwürdig. Darüber hinaus ist eine Prognose für die Studierendenzahlen in den Jahren nach 2026 im Lehramtsbereich für Grundschulen stark von bildungspolitischen Entscheidungen abhängig und daher kaum möglich.

Dienstunfähigkeit:

Aufgrund mangelhafter Datenlage speziell für die Dienstunfähigkeit nach Alter der Lehrkräfte an deutschen Grundschulen, kann keine zuverlässige Prognose über die tatsächlichen Ausfälle gegeben werden. Um diesen Faktor dennoch einfließen zu lassen, könnte man in einem weiteren Modellierungszyklus versuchen, genauere Daten durch Kontaktaufnahme mit Bildungsinstitutionen zu recherchieren. Aus zeittechnischen Gründen konnte dieser Aspekt im vorliegenden Projekt nicht realisiert werden. Alternative Überlegungen waren, die Dienstunfähigkeit von Beamten (Daten vorhanden) auf Lehrkräfte zu übertragen. Dies erschien jedoch stark fehleranfällig, da die Dienstunfähigkeit der Beamten unter Umständen von denen der Lehrkräfte abweicht und nicht nur eine Gesamtzahl der Frühpensionierungen sondern auch eine Altersverteilung unter den betroffenen Lehrkräften von Nöten wäre.

Präzisere Altersstruktur:

Ebenfalls über eine Kontaktaufnahme mit Institutionen der Bildungspolitik ließe sich eine genauere Altersverteilung der bediensteten Lehrkräfte in Deutschland erfragen und Informationen darüber erlangen, welche Altersverteilung bei Neueinstellungen in den Schuldienst vorliegt, wodurch sich genauere Aussagen über die jährlichen Pensionierungen treffen ließen, was jährlich den größten Einfluss auf das Lehrkraftdefizit hat.

Literatur

Munzinger, Paul: So viele Lehrer fehlen in Deutschland. In: Süddeutsche Zeitung [online] https://www.sueddeutsche.de/bildung/schule-so-viele-lehrer-fehlen-in-deutschland-1.3666408 (abgerufen am 15.11.2019)
Klovert, Heike/Laurenz, Nike/Quecke, Franca: Mangel an Pädagogen. Warum in Deutschland so viele Lehrer fehlen. [online] https://www.spiegel.de/lebenundlernen/schule/lehrer-mangel-in-deutschland-warum-so-viele-paedagogen-fehlen-und-wo-a-1280209.html (abgerufen am 15.11.2019)
[online] https://de.wikipedia.org/wiki/Lehramtsstudium#Lehrerausbildung_in_Zahlen (abgerufen am 17.11.2019)
[online] https://www.hupfeld-software.de/dokuwiki/doku.php/dynasys:bevoelkerungsmodelle (abgerufen am 22.01.2020)
[online] https://lehrplaene.bildung-rp.de/ (abgerufen am 27.01.2020)
Statistisches Bundesamt: www-genesis.destatis.de (Tabelle 12612-0001)
Statistische Veröffentlichung der KMK „Schüler, Klassen, Lehrer und Absolventen der Schulen 2008-2017“tatistisches Bundesamt: Bildung und Kultur – Allgemeinbildende Schulen – Schuljahr 2018-2019