Leibniz-Formel/Distributivgesetz/Aufgabe/Lösung


Es sei

Wir schreiben die -te Zeile der Matrix als . Damit ist unter Verwendung der Multilinearität in den Zeilen

Hierbei beruht die vorletzte Gleichung darauf, dass die Determinante von gleich ist, sobald ein Vektor mehrfach vorkommt, und man daher nur über die Permutationen aufsummieren muss. Die letzte Gleichung beruht darauf, dass man durch eine Anzahl an Zeilenvertauschungen aus die Einheitsmatrix mit Determinante erhält. Bei jeder Zeilenvertauschung ändert sich die Determinante um und dies entspricht der Änderung des Signums bei einer Transposition.