Beispielsweise wird der Existenzsatz für maximale Ideale in einem kommutativen Ring mit dem Lemma von Zorn bewiesen. Der Beweis geht so:
Wir betrachten die Menge
-
Diese Menge enthält das Nullideal und ist somit nicht leer. Wir wollen das
Lemma von Zorn
auf
(mit der Inklusion als Ordnungsrelation)
anwenden. Dazu sei
eine
total geordnete
Teilmenge. Wir setzen
-
Man zeigt nun, dass
ein Ideal ist, das nicht die
enthält. Also gehört es zu
und es bildet eine obere Schranke für
. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in
, und dies sind maximale Ideale.