Lemniskate/Kurvenlänge/Integral/Beispiel

Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung

gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als

ansetzt, so ergibt sich die Bedingung

bzw.

unter Verwendung des Additionstheorems für den Kosinus. Wegen

und

kann man lokal (auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius besitzt ja vier Schnittpunkte) die Kurve durch parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von bis in der Parametrisierung

ist nach Fakt gleich