Lineare Abbildung/Auf Erzeugendensystem eindeutig bestimmt/Keine Abbildung/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${}v\in V$ beliebig. Da ein Erzeugendensystem vorliegt, gibt es eine Darstellung

${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\,.$

Da eine lineare Abbildung Linearkombinationen erhält, muss für eine lineare Abbildung ${}\varphi$ mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$ gelten

${}\varphi (v)=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (v_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}w_{i}\,.$

Es gibt also für ${}\varphi (v)$ nur diese eine Möglichkeit und daher gibt es maximal ein ${}\varphi$.

b) Es sei ${}V=W=K$ und sei ${}v_{1}=1$, ${}v_{2}=0$, ${}w_{1}=w_{2}=1$. Die beiden Vektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ sind ein Erzeugendensystem von ${}K$, da dies für ${}v_{1}$ allein schon gilt. Es gibt aber keine lineare Abbildung mit ${}\varphi (v_{2})=\varphi (0)=1$,

da eine lineare Abbildung ${}0$ auf ${}0$ schickt.

Zur gelösten Aufgabe