Lineare Abbildungen/Produkt/Determinante/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die Produktabbildung als

${}L_{1}\times \cdots \times L_{n}=(L_{1}\times \operatorname {Id} _{V_{2}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}})\circ (\operatorname {Id} _{V_{1}}\times L_{2}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}})\circ \cdots \circ (\operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n-1}}\times L_{n})\,.$

Es seien ${}v_{i1},\ldots ,v_{id_{i}}$ Basen von ${}V_{i}$ und es sei ${}M_{i}$ die Matrix zu ${}L_{i}$ bezüglich der Basis von ${}V_{i}$. Dann wird

$\operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{i-1}}\times L_{i}\times \operatorname {Id} _{V_{i+1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}}$

bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix

${\begin{pmatrix}E_{1}&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&E_{i-1}&&&&\\&&&M_{i}&&&\\&&&&E_{i+1}&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&E_{n}\end{pmatrix}}$

beschrieben, wobei ${}E_{j}$ die Einheitsmatrix der Länge ${}d_{i}$ bezeichnet. Hier steht also die Matrix

${\begin{pmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&M_{i}&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{pmatrix}},$

und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich ${}\det M_{i}$. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist somit

${}{\begin{aligned}\det \left(L_{1}\times \cdots \times L_{n}\right)&=\det \left(L_{1}\times \operatorname {Id} _{V_{2}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}}\circ \cdots \circ \operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n-1}}\times L_{n}\right)\\&=\det \left(L_{1}\times \operatorname {Id} _{V_{2}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n}}\right)\cdots \det \left(\operatorname {Id} _{V_{1}}\times \cdots \times \operatorname {Id} _{V_{n-1}}\times L_{n}\right)\\&=\det M_{1}\cdots \det M_{n}\\&=\det L_{1}\cdots \det L_{n}.\end{aligned}}$

b) Es sei

${}n=\dim _{K}{\left(T\right)}\,$

und

${}T\cong K^{n}\,$

eine Isomorphie. Dann ist

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(T,V\right)}\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(K^{n},V\right)}\cong V\times \cdots \times V\,$

mit ${}n$ Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung ${}f\mapsto L\circ f$ der Produktabbildung ${}L\times \cdots \times L$. Die Behauptung folgt also aus Teil a).

Zur gelösten Aufgabe