Wir schreiben die Produktabbildung als
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Es seien
Basen von
und es sei
die Matrix zu
bezüglich der Basis von
. Dann wird
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bezüglich der Gesamtbasis des Produktraumes durch die Matrix
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beschrieben, wobei
die Einheitsmatrix der Länge
bezeichnet. Hier steht also die Matrix
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und deren Determinante ist nach der induktiven Definition gleich
. Nach
dem Determinantenmultiplikationssatz
ist somit

b) Es sei
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und
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eine Isomorphie. Dann ist
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mit

Faktoren. Dabei entspricht die natürliche Abbildung

der Produktabbildung

. Die Behauptung folgt also aus Teil a).