Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Multilinearität/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$ . Zeige, dass die Abbildung

\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\times \cdots \times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{n},W_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n},W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}\right)},\,(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n})\longmapsto \varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n},

ist.