Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Multilinearität/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\times \cdots \times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{n},W_{n}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n},W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}\right)},\,(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n})\longmapsto \varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n},$

multilinear ist.

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