Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Wohldefiniertheit/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

${}K$-lineare Abbildungen.

Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

mit

${}\psi (v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}):=\varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n})\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen