Lineare Abbildungen/Verknüpft mit multilinear/Multilinear/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ und ${}Z$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

lineare Abbildungen und sei

$\pi \colon W_{1}\times \cdots \times W_{n}\longrightarrow Z$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung

$\pi \circ (\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pi (\varphi _{1}(v_{1}),\ldots ,\varphi _{n}(v_{n})),$

ebenfalls multilinear ist.

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