Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineare Gleichung/Auch inhomogen/Definition

(In)homogene lineare Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Dann nennt man

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten ${}a_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.

Wenn ${}c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.