Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen

für alle ist das Nulltupel eine Lösung. Es seien und Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ist dann für jedes

Entsprechend ist

für alle . Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.