Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung

   $G\circ F\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto G(F(x)),$

   heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen ${}F$ und ${}G$.

2. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

   $AB$

   diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

   gegeben sind.

3. Man nennt

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$

   den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

4. Unter dem Homomorphismenraum versteht man

   ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,,$

   versehen mit der Addition, die durch

   ${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$

   definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

   ${}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$

   definiert wird.

5. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

6. Ein affiner Raum über einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge ${}E$ zusammen mit einer Abbildung

   $V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,$

   die den drei Bedingungen

   1. ${}P+0=P$ für alle ${}P\in E$,
   2. ${}(P+v)+w=P+(v+w)$ für alle ${}v,w\in V$ und ${}P\in E$,
   3. Zu je zwei Punkten ${}P,Q\in E$ gibt es genau einen Vektor ${}v\in V$ mit ${}Q=P+v$,

   genügt.

Zur gelösten Aufgabe