Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung ${}f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
2. Eine Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

   heißt kommutativ, wenn für alle ${}x,y\in M$ die Gleichheit

   ${}x\circ y=y\circ x\,$

   gilt.

3. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

4. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

   ${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,.$

   heißt Hauptideal.

5. Unter einer Streckung auf ${}V$ versteht man die lineare Abbildung

   $V\longrightarrow V,\,v\longmapsto sv,$

   die durch die Multiplikation mit einem Skalar ${}s\in K$ gegeben ist.

6. Eine quadratische Matrix ${}M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ gibt derart, dass das ${}n$-te Matrixprodukt

   $M^{n}=\underbrace {M\circ \cdots \circ M} _{n{\text{-mal}}}=0$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe