Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gilt

   ${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

   $\Psi \colon V\longrightarrow {({V}^{*})}^{*},\,v\longmapsto {\left(f\mapsto f(v)\right)}.$

   Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so ist ${}\Psi$ ein

   Isomorphismus.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von ${}V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}0&u_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&u_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&u_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&u_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

   besitzt, wobei die ${}u_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.