Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ zwei Basen von ${}V$. Es sei

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$

   mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$, die wir zur ${}n\times n$-Matrix

   ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$

   zusammenfassen. Dann hat ein Vektor ${}w$, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {u}}$ die Koordinaten

   ${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

2. Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen. Dann besitzt die Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau ${}n!$ Elemente.
3. Es sei ${}\lambda \in K$. Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

   ${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

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