Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/37/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis

   $b_{1},\ldots ,b_{n}.$

   Ferner sei

   $u_{1},\ldots ,u_{k}$

   eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$. Dann gibt es eine Teilmenge ${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie

   $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

   eine Basis von ${}V$ ist.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} {\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$

3. Ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}d$ besitzt maximal ${}d$ Nullstellen.

Zur gelösten Aufgabe