Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/38/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

   $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von ${}V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}0&u_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&u_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&u_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&u_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

   besitzt, wobei die ${}u_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.

Zur gelösten Aufgabe