Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Dann sind ${}V$ und ${}W$ zueinander isomorph genau dann, wenn ihre Dimension übereinstimmt.
2. Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und es sei ${}v\in V$ ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Dann gibt es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}f(v)\neq 0$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$. Dann ist

   $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}.$