Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

   $V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   mit folgenden Eigenschaften:

   1. Es ist

      ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

      für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

      ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

      für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

   2. Es ist

      ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

      für alle ${}v,w\in V$.

   3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
2. Die ${}n\times n$-Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

3. Eine Relation zwischen ${}X$ und ${}Y$ ist eine Teilmenge ${}R\subseteq X\times Y$.
4. Eine Orientierung auf ${}V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von ${}V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
5. Die offene Kugel zum Mittelpunkt ${}x$ und Radius ${}r$ ist durch

   ${}U{\left(x,r\right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<r\right\}}\,$

   definiert.

6. Eine reelle quadratische Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

   heißt spaltenstochastisch, wenn alle Einträge

   ${}a_{ij}\geq 0\,$

   sind und für jede Spaltensumme (also jedes ${}j$)

   ${}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}=1\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe