Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung


  1. Es seien Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist
  2. Es sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ der Form folgende Interpretation: ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu positiven Eigenwerten und ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu negativen Eigenwerten.
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist stabil.
    2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
    5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      mit oder gleich mit .