Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung
- Es seien Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist
- Es sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ der Form folgende Interpretation: ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu positiven Eigenwerten und ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu negativen Eigenwerten.
- Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist stabil.
- Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
- Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
- Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
- Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich
mit oder gleich mit .