Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
   2. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ ist ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$.
   3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ derart, dass ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, Teil einer Orthonormalbasis von ${}W$ ist.
2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}\varphi$ ist normal.
   2. Für alle ${}v,w\in V$ gilt

      ${}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,.$

   3. Für alle ${}v\in V$ gilt

      ${}\Vert {{\hat {\varphi }}(v)}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \,.$

3. Seien ${}G,Q$ und ${}H$ Gruppen, es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und ${}\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow H$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Zur gelösten Aufgabe