Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Die Polarisationsformel besagt

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

2. Jede eigentliche, lineare Isometrie

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine Drehung.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.