Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t^2(t-1)/Aufgabe/Lösung

Wir müssen für

${\frac {1}{t^{2}(t-1)}}$

mittels Partialbruchzerlegung eine Stammfunktion bestimmen. Es ist

${}{\frac {1}{t^{2}(t-1)}}={\frac {a}{t}}+{\frac {b}{t^{2}}}+{\frac {c}{t-1}}\,.$

Multiplikation mit dem Nenner führt auf

${}1=at(t-1)+b(t-1)+ct^{2}\,.$

Einsetzen von ${}t=0,1,-1$ führt auf die linearen Gleichungen

${}1=-b\,,$

${}1=c\,$

und

${}1=2a-2b+c\,.$

Also ist

$a=-1,\,b=-1,\,c=1.$

Eine Stammfunktion ist also

$-\ln t+{\frac {1}{t}}+\ln {\left(t-1\right)}.$

Somit ist

${}e^{-\ln t+{\frac {1}{t}}+\ln {\left(t-1\right)}}={\frac {t-1}{t}}\cdot e^{\frac {1}{t}}\,$

eine Lösung der Differentialgleichung.

Zur gelösten Aufgabe