a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von
bestimmen, eine solche ist
. Die Exponentialfunktion davon ist
, sodass
(mit
)
die Lösungen von
-
![{\displaystyle {}y'=y/t\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b4cadf875a496b3c4d5231861aa113cebebc00)
sind.
b) Eine Stammfunktion zu
ist
-
Damit ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{7}}t^{7}\cdot t={\frac {1}{7}}t^{8}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1a30084b1f3ea4dff12facd7c66db99d3d76ab)
eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind
-
alle Lösungen.
c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
erfüllt sein soll, so muss
-
![{\displaystyle {}{\frac {1}{7}}+c=5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2cbb21e422104f9e3f4bd36e25e35bacfa9ee5)
gelten, also
-
![{\displaystyle {}c=5-{\frac {1}{7}}={\frac {34}{7}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7daea076e908b00692ba852d4113bab031e91b6)
Die Lösungs des Anfangsproblems ist also
-
![{\displaystyle {}y(t)={\frac {1}{7}}t^{8}+{\frac {34}{7}}t\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9bae87d790b4da9eead29f698b741b42ffbf2e)