Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel

Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung

${}ru+sv+tw=0\,$

in den Variablen ${}u,v,w$ und den Parametern ${}r,s,t$, die als unbestimmte Koeffizienten der lineare Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum

${}L_{(r,s,t)}={\left\{(u,v,w)\mid ru+sv+tw=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

in Abhängigkeit von den Parametern ${}(r,s,t)$ verstehen. Ein Extremfall liegt bei ${}(r,s,t)=(0,0,0)$ vor, dann ist der Lösungsraum der volle ${}\mathbb {R} ^{3}$. Bei ${}(r,s,t)\neq (0,0,0)$ ist der Lösungsraum zweidimensional. Wir schließen den Nullpunkt als Parameter aus und betrachten den Gesamtlösungsraum der Gleichung

${}L={\left\{(r,s,t,u,v,w)\mid ru+sv+tw=0,\,(r,s,t)\neq (0,0,0)\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}\times \mathbb {R} ^{3}\,$

zusammen mit der Projektion ${}p$ auf ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$. Die Faser unter ${}p$ zu einem speziellen Parameterwert ${}(r,s,t)$ ist der Lösungsraum ${}L_{(r,s,t)}$ zu der durch dieses Parametertupel definierten Gleichung.

Kann man in diesem Beispiel eine Basis für den jeweiligen Lösungsraum angeben, die in einer übersichtlichen, rechnerischen, algebraischen Weise von den Parametern abhängt? Da wir den Nullpunkt rausgeworfen haben, gilt

${}\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0,0,0\}={\left\{(r,s,t)\mid r\neq 0\right\}}\cup {\left\{(r,s,t)\mid s\neq 0\right\}}\cup {\left\{(r,s,t)\mid t\neq 0\right\}}\,,$

man kann also den Basisraum als eine Vereinigung von drei offenen Mengen schreiben. Wenn man das Verhalten über einer solchen offenen Menge betrachtet, sagen wir über die durch ${}r\neq 0$ gegebene, so kann man darüber eine Basis angeben, nämlich durch

$\left(s,\,-r,\,0\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left(t,\,0,\,-r\right).$

Dabei sichert ${}r\neq 0$, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Die beiden Lösungsvektoren sind sogar überall wohldefinierte Lösungen, verlieren aber bei ${}r=0$ ihre lineare Unabhängikeit und bilden also nicht überall eine Basis. Aber jedenfalls ist

${\left\{(r,s,t)\mid r\neq 0\right\}}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow L{|}_{\left\{(r,s,t)\mid r\neq 0\right\}},\,(r,s,t;c,d)\longmapsto c\left(s,\,-r,\,0\right)+d\left(t,\,0,\,-r\right),$

eine rechnerisch einfache Bijektion zwischen dem Produktraum der Basis und dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ einerseits und dem Lösungsraum oberhalb von ${}{\left\{(r,s,t)\mid r\neq 0\right\}}$.

Wir fragen uns, ob es möglich ist, global, also auf ganz ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\left(0,\,0,\,0\right)\}$, eine mit dem Basisraum variiende Basis des Lösungsraums anzugeben. Gefragt ist also nach der Existenz von zwei Funktionen ${}u(r,s,t)$ und ${}v(r,s,t)$ mit Werten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ und der Eigenschaft, dass sie stets eine Basis des Lösungsraumes bilden (und insbesondere zum Lösungsraum gehören). Ohne jede weitere Bedingung an ${}u$ und ${}v$ ist dies möglich, da man ja durch eine Fallunterscheidung solche Funktionen definieren kann. Aber schon wenn man fordert, dass die beiden Funktionen stetig sein sollen, ist dies nicht mehr möglich. Wegen der Stetigkeit sind die Funktionen ${}u$ und ${}v$ bereits auf der offenen Teilmenge

${}U={\left\{(r,s,t)\mid r\neq 0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\left(0,\,0,\,0\right)\}\,$

festgelegt, da man jeden Punkt aus ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch eine Folge aus der offenen Menge ${}U$ approximieren kann. Mit der oben angegebenen Basis oberhalb dieser Menge kann man jedenfalls

${}u=\alpha (r,s,t){\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix}}+\beta (r,s,t){\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}}\,$

und

${}v=\gamma (r,s,t){\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix}}+\delta (r,s,t){\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}}\,$

mit stetigen reellwertigen Funktionen ${}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ auf der offenen Menge ${}U$ schreiben. Wir können nicht erwarten, dass diese Funktionen auf dem ganzen ${}\mathbb {R} ^{3}$ definiert sind, weshalb im stetigen Fall die Argumentation komplizierter werden würde. Das Resultat wird sich aus Fakt ergeben, siehe Bemerkung. Daher beschränken wir uns auf den Fall, dass diese Funktionen rationale Funktionen sind, in deren Nenner eine Potenz von ${}r$ vorkommen kann (das sind die rationalen Funktionen auf ${}U$). Betrachten wir

${}u=\alpha {\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix}}+\beta {\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}}={\frac {P}{r^{m}}}{\begin{pmatrix}s\\-r\\0\end{pmatrix}}+{\frac {Q}{r^{n}}}{\begin{pmatrix}t\\0\\-r\end{pmatrix}}\,$

mit Polynomen ${}P$ und ${}Q$, wobei der Faktor ${}r$ rausgekürzt sei. Da ${}u$ insgesamt auf ganz ${}\mathbb {R} ^{3}$ definiert ist, kann ${}m$ (ebenso ${}n$) höchstens ${}1$ sein (sonst hätte ${}u$ einen Pol). Die erste Zeile führt (bei ${}m=n=1$) auf eine polynomiale Gleichung der Form

${}rN+sP+tQ=0\,$

mit Polynomen ${}N,P,Q\in \mathbb {R} [r,s,t]$. In diesem Fall ist (Stichwort Koszul-Auflösung)

${}(N,P,Q)=A(-s,r,0)+B(t,0,-r)+C(0,t,-s)\,$

mit Polynomen ${}A,B,C\in \mathbb {R} [r,s,t]$. Entsprechend ergibt sich für ${}v$ eine Darstellung mit ${}(N',P',Q')$ bzw. ${}(A',B',C')$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon X\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow L\subseteq X\times \mathbb {R} ^{3},\,(r,s,t;a,b,c)\longmapsto (r,s,t;a(-s,r,0)+b(t,0,-r)+c(0,t,-s)).$

Unter dieser Abbildung werden die Polynomtupel ${}(A,B,C)$ bzw. ${}(A',B',C')$ (die wir als Abbildungen ${}X\rightarrow X\times \mathbb {R} ^{3}$ auffassen) auf ${}u$ bzw. ${}v$ abgebildet. Da diese nach Voraussetzung in jedem Punkt eine Basis der zugehörigen Faser von ${}L$ bilden, sind ${}(A,B,C)$ und ${}(A',B',C')$ in jedem Punkt linear unahängig. Das Tupel ${}(t,s,-r)$ wird unter ${}\varphi$ in jedem Punkt auf ${}0$ (in der Faser) abgebildet. Daher bilden die ${}(A,B,C),\,(A',B',C')$ und ${}(t,s,-r)$ in jedem Punkt eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{3}$, da ${}(t,s,-r)$ in keinem Punkt als Linearkombination von ${}(A,B,C)$ und ${}(A',B',C')$ geschrieben werden kann. Die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}A&B&C\\A'&B'&C'\\t&s&-r\end{pmatrix}}$

ist aber eine Linearkombination der Variablen ${}r,s,t$ im Polynomring. Daher ist dies keine Einheit im Polynomring. Im reellen Fall kann man daraus noch nicht schließen, dass die Determinante eine reelle Nullstelle in ${}X$ hat (wenn die Determinante beispielsweise die Form ${}r^{2}+s^{2}+t^{2}$ besitzt). Wenn man aber statt mit ${}\mathbb {R}$ mit ${}{\mathbb {C} }$ arbeitet, so ändert sich an der algebraischen Argumentation nichts und man kann folgern, dass die Determinante in

${}X_{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\,$

Nullstellen besitzt und daher nicht überall eine Basis vorliegen kann.