Lineares Differentialgleichungssystem/0 1 0 0 0 -2 0 0 0/Invariante Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}v(t)={\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\end{pmatrix}}$. Da es sich um eine Lösung handelt gilt

${}v_{1}'(t)=v_{2}(t)\,,$

${}v_{2}'(t)=-2v_{3}(t)\,$

und

${}v_{3}'(t)=0\,.$

Daraus folgt direkt, dass die dritte Komponente, also ${}f(x,y,z)=z$, einer Lösung konstant ist. Um zu zeigen, dass auch ${}g(x,y,z)=4xz+y^{2}$ auf der Lösung konstant ist, berechnen wir die Ableitung der Verknüpfung ${}g\circ v$. Diese ist

${}{\begin{aligned}{\left(4v_{1}(t)\cdot v_{3}(t)+{\left(v_{2}(t)\right)}^{2}\right)}'&=4v_{1}(t)\cdot v_{3}'(t)+4v_{3}(t)\cdot v_{1}'(t)+2v_{2}(t)\cdot v_{2}'(t)\\&=0+4v_{3}(t)\cdot v_{2}(t)-4v_{2}(t)\cdot v_{3}(t)\\&=0.\end{aligned}}$

Also ist ${}g$ ebenfalls konstant auf der Lösung.

Zur gelösten Aufgabe