Lineares Differentialgleichungssystem/1 2 3 5/Anfangswertproblem -4 3/Aufgabe/Lösung

a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist

Daher sind und die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung

Die allgemeine Lösung hat demnach die Form

mit .

b) Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir und so bestimmen, dass

ist. Die zweite Gleichung bedeutet . Wir addieren das -fache der ersten Zeile zu dazu und erhalten

woraus sich

und somit

ergibt. Daher ist

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also