Lineares Differentialgleichungssystem/Differenzieren in C/Kurzeinführung/Textabschnitt

Wir erwähnen einige Rechenregeln für differenzierbare Abbildungen

$f\colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},$

(${}I$ ist ein reelles Intervall oder eine offene Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }$) die bei der Berechnung von Differentialgleichungen zum Zuge kommen. Zunächst lässt sich die reelle Exponentialfunktion ${}e^{x}$ (unter Verwendung der Exponentialreihe) zu einer Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto e^{z},$

ausdehnen. Diese ist komplex-differenzierbar, und zwar ist die Ableitung wieder die Exponentialfunktion selbst. Für eine komplexe Zahl ${}u$ gilt ${}{\left(e^{uz}\right)}^{\prime }=ue^{uz}$. Zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen besteht der Zusammenhang (die Eulersche Formel)

${}e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t\,$

(wobei ${}t$ reell oder komplex sein kann).