Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Komplexe und reelle Lösungen/Bemerkung

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei

$z\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben ${}z(t)=u(t)+{\mathrm {i} }v(t)$, wobei ${}u,v$ differenzierbare Kurven im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei

${}{\overline {z}}(t)=u(t)-{\mathrm {i} }v(t)\,$

die konjugiert-komplexe Funktion zu ${}z$. Dann ist wegen

${}M{\overline {z(t)}}={\overline {M}}{\overline {z(t)}}={\overline {z'(t)}}={\overline {z}}'(t)\,$

auch ${}{\overline {z}}$ eine Lösungsfunktion. Wegen

$u(t)={\frac {z(t)+{\overline {z}}(t)}{2}}{\text{ und }}v(t)={\frac {z(t)-{\overline {z}}(t)}{2{\mathrm {i} }}}$

sind auch Real- und Imaginärteil von ${}z$ Lösungsfunktionen (und zwar reellwertige).