Lineares Gleichungssystem/Über Q sqrt(3)/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben das Gleichungssystem als

(I)\,\,\,(2+{\sqrt {3}})x-{\sqrt {3}}y=1-{\sqrt {3}}

(II)\,\,\,{\frac {1}{2}}x-(2+3{\sqrt {3}})y=4-2{\sqrt {3}}.

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit ${}4+2{\sqrt {3}}$ und erhalten

(III)\,\,\,(2+{\sqrt {3}})x+(-26-16{\sqrt {3}})y=4.

Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten

(IV)\,\,\,(26+15{\sqrt {3}})y=-3-{\sqrt {3}}.

Das inverse Element von ${}(26+15{\sqrt {3}})$ ist ${}(26-15{\sqrt {3}})$ , somit ist also

{}y=(26-15{\sqrt {3}})(-3-{\sqrt {3}})=-33+19{\sqrt {3}}\,.

Aus der Gleichung ${}(II)$ folgt daraus

{}{\begin{aligned}x&=2(4-2{\sqrt {3}}+(2+3{\sqrt {3}})y)\\&=8-4{\sqrt {3}}+2(2+3{\sqrt {3}})(-33+19{\sqrt {3}})\\&=8-4{\sqrt {3}}+210-122{\sqrt {3}}\\&=218-126{\sqrt {3}}.\end{aligned}}