Lineares Gleichungssystem/2x2/Lösung/Verfahren

Es sei ein lineares Gleichungssystem über dem Körper ${}K$ mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen ${}x$ und ${}y$ gegeben, d.h. es soll

${}ax+by=e\,$

und

${}cx+dy=f\,$

mit vorgegebenen Zahlen ${}a,b,c,d,e,f\in K$ simultan gelöst werden. Wenn

${}a=c=0\,$

ist, so kommt die Variable ${}x$ gar nicht explizit vor und es liegt somit im Prinzip ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in der einen Variablen ${}y$ vor. In diesem Extremfall hängt die Lösbarkeit und die Lösungen von ${}b,d,e,f$ ab, insbesondere davon, ob diese Zahlen gleich ${}0$ oder nicht gleich ${}0$ sind. Betrachten wir also den Fall, wo ${}a\neq 0$ ist. Wenn man zur zweiten Gleichung das ${}-{\frac {c}{a}}$-fache der ersten Gleichung hinzuaddiert (also das ${}{\frac {c}{a}}$-fache abzieht), so ergibt sich die neue Gleichung

${}cx+dy-{\frac {c}{a}}(ax+by)={\left(d-{\frac {c}{a}}b\right)}y=f-{\frac {c}{a}}e\,.$

Eine Lösung des Ausgangssystems muss auch eine Lösung des neuen Gleichungssystems (und umgekehrt) sein, das aus der ersten Gleichung

${}ax+by=e\,$

und der neuen Gleichung (mit neuen Buchstaben für die neuen Koeffizienten)

${}ry=s\,$

besteht. In dieser zweiten Gleichung kommt nur ${}y$ als Variable vor, entscheidend ist, ob ${}r$ gleich oder nicht gleich ${}0$ ist (da sich der neue Koeffizient durch eine Rechnung ergibt, ist nicht von vornherein klar, welcher Fall eintreten wird). Bei ${}r\neq 0$ (dies ist der „Normalfall“) ist

${}y={\frac {s}{r}}\,$

und mit der ersten Gleichung erhält man die eindeutige Lösung für ${}x$. Bei ${}r=0$ und ${}s\neq 0$ gibt es keine Lösung für ${}y$ und somit auch keine Lösung für das Gesamtsystem. Bei ${}r=0$ und ${}s=0$ ist jedes ${}y$ eine Lösung der zweiten Gleichung und jedes ${}y$ führt mit der ersten Gleichung zu einer Lösung für ${}x$ und damit zu einer Gesamtlösung.