Lineares Gleichungssystem/2x2/Lösung/Verfahren

Es sei ein lineares Gleichungssystem über dem Körper mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen und gegeben, d.h. es soll

und

mit vorgegebenen Zahlen simultan gelöst werden. Wenn

ist, so kommt die Variable gar nicht explizit vor und es liegt somit im Prinzip ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in der einen Variablen vor. In diesem Extremfall hängt die Lösbarkeit und die Lösungen von ab, insbesondere davon, ob diese Zahlen gleich oder nicht gleich sind. Betrachten wir also den Fall, wo ist. Wenn man zur zweiten Gleichung das -fache der ersten Gleichung hinzuaddiert (also das -fache abzieht), so ergibt sich die neue Gleichung

Eine Lösung des Ausgangssystems muss auch eine Lösung des neuen Gleichungssystems (und umgekehrt) sein, das aus der ersten Gleichung

und der neuen Gleichung (mit neuen Buchstaben für die neuen Koeffizienten)

besteht. In dieser zweiten Gleichung kommt nur als Variable vor, entscheidend ist, ob gleich oder nicht gleich ist (da sich der neue Koeffizient durch eine Rechnung ergibt, ist nicht von vornherein klar, welcher Fall eintreten wird). Bei (dies ist der „Normalfall“) ist

und mit der ersten Gleichung erhält man die eindeutige Lösung für . Bei und gibt es keine Lösung für und somit auch keine Lösung für das Gesamtsystem. Bei und ist jedes eine Lösung der zweiten Gleichung und jedes führt mit der ersten Gleichung zu einer Lösung für und damit zu einer Gesamtlösung.