Lineares Gleichungssystem/Basisergänzung/1/Aufgabe

Wir betrachten die linearen Gleichungen

${}9x-8y+7z-8u+4v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3y+7z-4u+6v=0\,,$

${}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2z+5u+7v=0\,$

über ${}\mathbb {R}$.

1. Bestimme eine Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
2. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{1}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
3. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{2}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
4. Ergänze die Basis ${}{\mathfrak {b}}_{3}$ zu einer Basis ${}{\mathfrak {b}}_{4}$ des Gesamtraumes ${}\mathbb {R} ^{5}$.

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